数学8.5 空间直线、平面的平行一等奖教案

这是一份数学8.5 空间直线、平面的平行一等奖教案，共12页。教案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

知识点 直线与平面平行的判定定理
思考1 如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？
答案 平行．
思考2 如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？
答案 由于直线a∥b，所以两条直线共面，直线a与平面α不相交.
类型一 直线与平面平行的判定定理
例1 如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．相交 B．b∥α
C．b⊂α D．b∥α或b⊂α
答案 D
解析 由a∥b，且a∥α，知b与α平行或b⊂α.
反思与感悟 用判定定理判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：
(1)直线a在平面α外，即a⊄α；
(2)直线b在平面α内，即b⊂α；
(3)两直线a、b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．
跟踪训练1 若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
答案 B
解析 若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．
类型二 直线与平面平行的判定定理的应用
例2 已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ(如图)．求证：PQ∥平面CBE.
证明 方法一 作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，
则PM∥QN，eq \f(PM,AB)＝eq \f(EP,EA)，eq \f(QN,CD)＝eq \f(BQ,BD).
∵EA＝BD，AP＝DQ，
∴EP＝BQ.
又AB＝CD，∴PM綊QN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，
∴PQ∥MN.
又PQ⊄平面CBE，
MN⊂平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
方法二 如图所示，连接AQ并延长交BC的延长线于K，连接EK.
∵AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，
∴eq \f(AP,PE)＝eq \f(DQ,BQ)，
又AD∥BK，
∴eq \f(DQ,BQ)＝eq \f(AQ,QK)，∴eq \f(AP,PE)＝eq \f(AQ,QK)，
∴PQ∥EK，
又PQ⊄平面BCE，EK⊂平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
反思与感悟 利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．
跟踪训练2 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别是AB、PD的中点．
求证：AF∥平面PCE.
证明 如图，取PC的中点M，连接ME、MF，则FM∥CD且FM＝eq \f(1,2)CD.
又∵AE∥CD且AE＝eq \f(1,2)CD，
∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形．
∴AF∥ME，
又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，
∴AF∥平面PCE.
1．下列说法正确的是( )
A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥α
D．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
答案 D
解析 A错误，直线l可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误，a可以与平面α相交．
2．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．
①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.
答案 0
解析 ①a⊂α也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③a⊂α也可能成立；④a，b还有可能异面．
3.空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，判断EF与平面BCD的位置关系．
解 设由相交直线BC，CD所确定的平面为α，如图，连接BD，易见，EF不在平面α内，由于E、F分别为AB、AD的中点，所以EF∥BD.又BD在平面α内，所以EF∥α.
4．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝O，求证：直线GO∥平面D1EF.
证明 如图，设EF∩BD＝H，连接D1H，在△DD1H中，
∵eq \f(DO,DH)＝eq \f(2,3)＝eq \f(DG,DD1)，∴GO∥D1H，
又GO⊄平面D1EF，D1H⊂平面D1EF，
∴GO∥平面D1EF.
1．判断或证明线面平行的常用方法
(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)．
(2)判定定理法：(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．
2．证明线线平行的常用方法
(1)利用三角形、梯形中位线的性质．
(2)利用平行四边形的性质．
(3)利用平行线分线段成比例定理．
一、选择题
1．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．b∥α B．b与α相交
C．b⊂α D．b∥α或b与α相交
答案 D
解析 由题意画出图形，当a，b所在平面与平面α平行时，b与平面α平行，当a，b所在平面与平面α相交时，b与平面α相交．
2．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α
答案 D
解析 l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等．l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α的距离相等；l与α斜交时，也只能有两点到α的距离相等．
3．点E，F，G，H分别是空间四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 如图，由线面平行的判定定理可知BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
4．下列说法中，正确的有( )
①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；
②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；
④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案 B
解析 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线垂直于这条直线，那么在这个平面内与所作直线平行的直线都与已知直线垂直，有无数条，所以②正确；对于③显然错误；而④，也有可能相交，所以也错误．
5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )
A．不存在
B．有1条
C．有2条
D．有无数条
答案 D
解析 画出平面D1EF与平面ADD1A1的交线D1G，如图所示．于是在平面ADD1A1内与直线D1G平行的直线都与平面D1EF平行，有无数条．
6．如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1中，E是BC的中点，D是AA1上的动点，且eq \f(AD,DA1)＝m，若AE∥平面DB1C，则m的值为( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
答案 B
解析 如图，取CB1的中点G，连接GE，DG，当m＝1时，AD＝GE＝eq \f(1,2)BB1且AD∥GE，∴四边形ADGE为平行四边形，则：AE∥DG，可得：AE∥平面DB1C.
二、填空题
7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的各个面所在的平面中：
(1)与直线AB平行的平面是____；
(2)与直线AA1平行的平面是____；
(3)与直线AD平行的平面是____．
答案 (1)平面A1C1和平面DC1
(2)平面BC1和平面DC1
(3)平面B1C和平面A1C1
8.如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点，则EO与图中平行的平面有________．
答案 平面PAD、平面PCD
解析 ∵O为BD的中点，且在△PBD中，E为PB的中点，
∴EO∥PD，又EO在平面PAD、PCD外，PD在平面PAD、PCD内，所以EO与平面PAD、平面PCD平行．
9.如图，四棱锥P­ABCD中，ABCD为平行四边形，E，F分别为PB，PC的中点，则EF与平面PAD的位置关系为________．
答案 平行
解析 ∵EF为△PBC的中位线．
∴EF∥BC，又BC∥AD，
∴EF∥AD，
又EF⊄平面PAD且AD⊂平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
10．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
答案 平面ABD与平面ABC
解析 如图，取CD的中点E.
则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.
所以MN∥平面ABD，
MN∥平面ABC.
三、解答题
11.如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论．
解 如图，存在点M，当点M是线段AE的中点时，
PM∥平面BCE.
取BE的中点N，连接CN，MN，
则MN綊eq \f(1,2)AB綊PC，
所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN.
因为PM⊄平面BCE，CN⊂平面BCE，
所以PM∥平面BCE.
12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、G分别是BC、SC的中点，求证：直线EG∥平面BDD1B1.
证明 如图，连接SB，
∵E、G分别是BC、SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB⊂平面BDD1B1，
EG⊄平面BDD1B1，
∴直线EG∥平面BDD1B1.
13.如图，S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且eq \f(AM,SM)＝eq \f(DN,NB).
求证：MN∥平面SBC.
证明 连接AN并延长交BC于P，连接SP.
因为AD∥BC，所以eq \f(DN,NB)＝eq \f(AN,NP)，
又因为eq \f(AM,SM)＝eq \f(DN,NB)，
所以eq \f(AM,SM)＝eq \f(AN,NP)，所以MN∥SP，
又MN⊄平面SBC，
SP⊂平面SBC，
所以MN∥平面SBC.表示
定理
图形
文字
符号
直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊄α,b⊂α,a∥b))⇒a∥α