高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精品教案设计

3.1.1 椭圆及其标准方程

【学习目标】

1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程；

2.掌握椭圆的定义和标准方程；

3.能用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题.

【要点梳理】

要点一、椭圆的定义

平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

要点诠释：

若，则动点的轨迹为线段；

若，则动点的轨迹无图形.

要点二、椭圆的标准方程

标准方程的推导：

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．

(1)建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)点的集合

由定义不难得出椭圆集合为：

P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．

(3)代数方程

即：

(4)化简方程 由可得，则得方程

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．

因此，方程即为所求椭圆的标准方程.它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．

椭圆的标准方程：

1.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

2.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

要点诠释：

1.这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

2.在椭圆的两种标准方程中，都有和；

3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；

4. 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.

要点三、求椭圆的标准方程

求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：

（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a,b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：.

（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.

【典型例题】

类型一：椭圆的定义

例1. 若一个动点P（x，y）到两个定点A（－1，0）、A＇（1，0）的距离的和为定值m（m>0），试求P点的轨迹方程。

【解析】∵|PA|+|PA＇|=m，|AA＇|=2，|PA|+|PA＇|≥|AA＇|，

（1）当0<m<2时，P点的轨迹不存在；

（2）当m=2时，P点的轨迹就是线段AA＇

∴其方程为y=0（－1≤x≤1）；

（3）当m＞2时，由椭圆的定义知，点P的轨迹是以A、A＇为焦点的椭圆

∵2c=2，2a=m，

∴，，

∴点P的轨迹方程为。

【总结升华】平面内一动点到两定点的距离和等于常数时，动点的轨迹不一定是椭圆。。当动点到两点的距离和小于两定点之间的距离时，动点的轨迹不存在；当动点到两点的距离和等于两定点之间的距离时，动点的轨迹是线段；当动点到两定点的距离和（常数）大于两定点之间的距离时，动点的轨迹是椭圆。

举一反三：

【变式1】若动点M到两个定点F1,F2的距离的和为定值m，则M的轨迹是（   ）

A.椭圆      B.线段      C.不存在      D.以上都不对

【答案】D

【变式2】已知圆，圆A内一定点B（2，0），圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程。

【答案】设|PB|=r，

∵圆P与圆A内切，圆A的半径为6，

∴两圆的圆心距|PA|=6－r，即|PA|+|PB|=6（大于|AB|）。

∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆。

∴2a=6，2c=|AB|=4。

∴a=3，c=2，b2=a2－c2=32－22=5。

∴点P的轨迹方程为

【变式3】设动圆与圆外切，与内切，求动圆圆心的轨迹方程.

【答案】

类型二：椭圆的标准方程

例2. 椭圆的焦距是         ，焦点坐标是         ；若AB为过椭圆的一个焦点F1的一条弦，F2为另一个焦点，则的周长是          .

【答案】

【解析】由椭圆方程知

∴

∴

∴两焦点为

又因为三角形的周长为为

=

【总结升华】有椭圆的标准方程可以读出有关信息，如a,b的值和焦点的位置，进而可以解决有关问题，因此我们应该准确把握椭圆的标准方程，并从中读出有关信息.

举一反三：

【变式1】方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________

【答案】<m<25

【解析】因为焦点在y轴上，所以16＋m>25－m，即m>，又因为b2＝25－m>0，故m<25，所以m的取值范围为.

【变式2】已知椭圆的标准方程是(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________．

【答案】

【解析】因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即，所以△ABF2的周长为4a＝.

例3.当时，指出方程所表示的曲线.

【解析】

∵∴

（1）          若9-k>k-3，即时，则方程表示焦点在x轴上的椭圆；

（2）          若9-k=k-3，即k=6时，方程表示圆；

（3）          若9-k<k-3, 即时，则方程表示焦点在y轴上的椭圆.

【总结升华】一方面确定椭圆标准方程需要知道定形条和定位条件，反过来，给出了椭圆的标准方程后，也可以从中读出相关信息.

举一反三：

【变式】如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是     

【答案】

类型三：求椭圆标准方程

例4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

    （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；

    （2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点

【解析】

（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为。

∵2a=10，2c=8，∴a=5，c=4

∴b2=a2－c2=52－42=9

∴所求椭圆的标准方程为；

（2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为

由椭圆的定义知，，

∴

又c=2，∴b2=a2－c2=10－4=6

∴所求椭圆的标准方程为

【总结升华】求椭圆的标准方程就是求a2及b2（a＞b＞0），并且判断焦点所在的坐标轴。当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为。

举一反三：

【变式1】已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，则椭圆的标准方程是________．

【答案】

【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程。

【答案】。

例5. 求经过点P（－3，0）、Q（0，2）的椭圆的标准方程。

【解析】设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）。

∵椭圆经过点P（－3，0）和Q（0，2），

∴    ∴

∴所求椭圆方程为。

【总结升华】在求椭圆的标准方程时必须先判断焦点的位置，然后再设出方程。在无法判断焦点的位置时可设mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），而不规定m与n的大小关系，从而避免讨论焦点的位置。

举一反三：

【变式1】过点(－3,2)且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是________．

【答案】

【变式2】已知椭圆的中心在原点，经过点P（3，0）且a=3b，求椭圆的标准方程。

【答案】或。

类型四：椭圆的综合问题

例6.设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________．

【答案】4

【解析】由椭圆方程，得a＝3，b＝2，，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为PF1·PF2＝×2×4＝4.

【总结升华】解决椭圆焦点三角形有关问题的关键在于充分利用椭圆的定义以及余弦定理、正弦定理.

举一反三：

【变式1】已知P为椭圆上的一点，是两个焦点，，

求的面积.

【答案】

【变式2】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为．过点的直线l交C于A，B两点，且的周长为16，那么C的方程为______

【答案】。

类型五：坐标法的应用

例7．△ABC的两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0，－6），另两边AB、AC的斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程。

【解析】设顶点A的坐标为（x，y）

由题意得，

 ∴顶点A的轨迹方程为。

【总结升华】求出曲线方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件。

举一反三：

【变式1】已知A、B两点的坐标分别为（0，－5）和（0，5），直线MA与MB的斜率之积为，则M的轨迹方程是（    ）

A．    B．

C．    D．

【答案】D

【变式2】△ABC两顶点的坐标分别是B（6，0）和C（－6，0），另两边AB、AC的斜率的积是，则顶点的轨迹方程是（    ）

A．    B．

C．    D．

【答案】D

【高清课堂：椭圆的方程 例3】

【变式3】如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP'，求线段PP'中点M的轨迹

【答案】设点M的坐标为，点P的坐标为，

则

因为在圆上，所以

将代入上方程

得即

所以点M的轨迹是一个椭圆