课时过关检测（二） 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

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A级——基础达标
1．命题p：存在常数列不是等比数列，则命题綈p为( )
A．任意常数列不是等比数列
B．存在常数列是等比数列
C．任意常数列都是等比数列
D．不存在常数列是等比数列
解析：选C 因为特称命题的否定是全称命题，命题p：存在常数列不是等比数列的否定命题綈q：任意常数列都是等比数列．故选C.
2．(2021·南充市第一次适应性考试)“A＝60°”是“cs A＝eq \f(1,2)”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A A＝60°⇒cs A＝eq \f(1,2)，cs A＝eq \f(1,2)⇒A＝±60°＋k×360°，k∈Z，所以“A＝60°”是“cs A＝eq \f(1,2)”的充分不必要条件．
3．∃x≥0，使2x＋x－a≤0，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：选B ∃x≥0，使2x＋x－a≤0，等价于a≥(2x＋x)min，设f(x)＝2x＋x，x∈[0，＋∞)，则函数f(x)在[0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)≥f(0)＝1，所以a的取值范围是a≥1.故选B.
4．甲、乙、丙、丁四个人在一次比赛中只有一人得奖，在问到谁得奖时，四人的回答如下：
甲：乙得奖．
乙：丙得奖．
丙：乙说错了．
丁：我没得奖．
四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选D 根据四人的回答，可将丙的回答作为突破口．(1)若丙的回答为假，即乙的回答为真，故四人中只有乙说的与事实相符，推得得奖的为丙、丁，与题干“只有一人得奖”矛盾；(2)若丙回答为真，故四人中只有丙说的与事实相符，由此推得丁获奖．故选D.
5．已知p：x，y∈R，x2＋y2＜2，q：x，y∈R，|x|＋|y|＜2，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 如图，不等式x2＋y2＜2表示图中圆面O(不包括边界)，不等式|x|＋|y|＜2表示正方形ABCD内部．可知p⇒q，q⇒/ p，故p是q的充分不必要条件．故选A.
6．(多选)已知a，b，c是实数，下列结论正确的是( )
A．“a2＞b2”是“a＞b”的充分条件
B．“a2＞b2”是“a＞b”的必要条件
C．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分条件
D．“|a|＞|b|”是“a＞b”的既不充分也不必要条件
解析：选CD 对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2＞b2，但是a＜b，所以充分性不成立；对于B，当a＝1，b＝－2时，满足a＞b，但是a2＜b2，所以必要性不成立；对于C，由ac2＞bc2得c≠0，则有a＞b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝－5，b＝1时，|a|＞|b|成立，但是a＜b，所以充分性不成立，当a＝1，b＝－2时，满足a＞b，但是|a|＜|b|，所以必要性也不成立，故“|a|＞|b|”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．故选C、D.
7．(多选)下列命题说法错误的是( )
A．∃x∈R，ex≤0
B．∀x∈R,2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是eq \f(a,b)＝－1
D．若x，y∈R，且x＋y＞2，则x，y中至少有一个大于1
解析：选ABC 根据指数函数的性质可得ex＞0，故A错误；x＝2时，2x＞x2不成立，故B错误；当a＝b＝0时，eq \f(a,b)没有意义，故C错误；因为“x＋y＞2，则x，y中至少有一个大于1”的逆否命题为“x，y都小于等于1，则x＋y≤2”，是真命题，所以原命题为真命题．故选A、B、C.
8．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是( )
解析：选BD 由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选B、D.
9．若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，eq \r(x) ＞x＋1”，则命题p可写为___________．
解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．
答案：∃x0∈(0，＋∞)，eq \r(x0) ≤x0＋1
10．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．
解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.
又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.
故实数m的取值范围为[3,8)．
答案：[3,8)
11．已知p：1≤x≤2，q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充要条件，则实数a的值为________．
解析：q：(x－a)(x－a－1)≤0，∴a≤x≤a＋1.
由p是q的充要条件知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,a＋1＝2，))∴a＝1.
答案：1
12．已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是________．
解析：A∩B＝∅⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋2≤4，,a－2≥－2))⇔0≤a≤2.
答案：0≤a≤2
B级——综合应用
13．(2021·全国统一考试模拟演练)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：
甲：x＝1是该方程的根；
乙：x＝3是该方程的根；
丙：该方程两根之和为2；
丁：该方程两根异号．
如果只有一个假命题，则该命题是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选A 假设甲、乙都为真命题，则x1＋x2＝4这与命题丙、丁矛盾，不合题意，所以甲、乙必有一个为假命题．若甲真乙假，由丙知方程的另一根必为1，这将导致丁为假命题，此时不合题意；若甲假乙真，由丙可知另一根为－1，此时丁也为真，符合题意，故选A.
14．(多选)(2021·山东德州月考)已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是( )
A．l⊂α，l⊥β B．l⊥α，m⊥β，l⊥m
C．α⊥γ，β∥γ D．l⊂α，m⊂β，l⊥m
解析：选ABC 由面面垂直的判定定理可以判断A、B、C项均符合题意；对于D项，由l⊂α，m⊂β，l⊥m也可以得到α∥β，所以D项不符合题意，故选A、B、C.
15．“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A．m>eq \f(1,4) B．0C．m>0 D．m>1
解析：选C 若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>eq \f(1,4)，因此当不等式x2－x＋m>0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0.故选C.
C级——迁移创新
16．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．
解析：由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集，函数f(x)的值域是[－1,3]，因为a＞0，所以函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤eq \f(1,2)，故实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))