课时过关检测（二十五） 简单的三角恒等变换

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1．若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则eq \f(tan α,tan β)＝( )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．3D．eq \f(1,3)
解析：选A ∵sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，
∴sin αcs β＝2cs αsin β，∴tan α＝2tan β，
即eq \f(tan α,tan β)＝2，故选A．
2．计算：eq \f(1－cs210°,cs 80°\r(1－cs 20°))等于( )
A．eq \f(\r(2),2)B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(3),2)D．－eq \f(\r(2),2)
解析：选A eq \f(1－cs210°,cs 80°\r(1－cs 20°))
＝eq \f(sin210°,sin 10°\r(1－1－2sin210°))
＝eq \f(sin210°,\r(2)sin210°)＝eq \f(\r(2),2).
3．若eq \f(2cs2α＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2α))－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4))))＝4，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,4)D．eq \f(1,5)
解析：选C ∵eq \f(2cs2α＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2α))－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4))))
＝eq \f(cs 2α－sin 2α,sin 2α＋cs 2α)＝eq \f(1－tan 2α,1＋tan 2α)＝4，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋tan 2α,1－tan 2α)＝eq \f(1,4).故选C．
4．(2021·安徽省部分重点学校联考)已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β＝( )
A．eq \f(5π,12)B．eq \f(π,3)
C．eq \f(π,4)D．eq \f(π,6)
解析：选C 法一：因为0＜α＜eq \f(π,2)，0＜β＜eq \f(π,2)，所以－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2)，又sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，所以cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(2\r(5),5)，cs(α－β)＝eq \r(1－sin2α－β)＝eq \f(3\r(10),10)，则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcs(α－β)－cs α·sin(α－β)＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝eq \f(\r(2),2)，则β＝eq \f(π,4)，故选C．
法二：因为0＜α＜eq \f(π,2)，0＜β＜eq \f(π,2)，所以－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2)，又sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，所以cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(2\r(5),5)，cs(α－β)＝eq \r(1－sin2α－β)＝eq \f(3\r(10),10)，则cs β＝cs[α－(α－β)]＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝eq \f(\r(2),2)，则β＝eq \f(π,4)，故选C．
5．(多选)已知sin α＝－eq \f(4,5)，180°<α<270°，则下列选项正确的是( )
A．sin 2α＝－eq \f(24,25)B．sin eq \f(α,2)＝eq \f(2\r(5),5)
C．cs eq \f(α,2)＝－eq \f(\r(5),5)D．tan eq \f(α,2)＝－2
解析：选BCD ∵180°<α<270°，∴cs α＝－eq \f(3,5)，
∴sin 2α＝2sin αcs α＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝eq \f(24,25)，故A错误．
∵90°tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin \f(α,2),cs \f(α,2))＝－2，故B、C、D均正确．
6．(多选)(2021·河北石家庄第二中学模拟)已知0<θA．eq \f(n,1＋m)B．eq \f(m,1＋n)
C．eq \f(1－n,m)D．eq \f(1－m,n)
解析：选AD ∵sin 2θ＝m，cs 2θ＝n，∴m2＋n2＝1，∴eq \f(1－m,n)＝eq \f(n,1＋m).∴tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))＝eq \f(1－tan θ,1＋tan θ)＝eq \f(cs θ－sin θ,cs θ＋sin θ)＝eq \f(cs θ－sin θcs θ－sin θ,cs θ＋sin θcs θ－sin θ)＝eq \f(1－sin 2θ,cs 2θ)＝eq \f(1－m,n)＝eq \f(n,1＋m).故选A、D.
7.eq \f(sin 20°－sin 40°,cs 20°－cs 40°)＝ .
解析：原式＝eq \f(2cs \f(20°＋40°,2)sin \f(20°－40°,2),－2sin \f( 20°＋40°,2)sin \f(20°－40°,2))
＝eq \f(2cs 30°sin －10°,－2sin 30°sin －10°)
＝－eq \f(\f(\r(3),2),\f(1,2))＝－eq \r(3).
答案：－eq \r(3)
8．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－sin α＝eq \f(4\r(3),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(11π,6)))＝ .
解析：由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－sin α＝eq \f(\r(3),2)cs α－eq \f(1,2)sin α－sin α＝eq \f(\r(3),2)cs α－eq \f(3,2)sin α＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs α－\f(\r(3),2)sin α))＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(4\r(3),5)，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(4,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(11π,6)))＝－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(11π,6)))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(4,5).
答案：－eq \f(4,5)
9．已知α，β均为锐角，且cs(α－β)＝eq \f(3,5)，cs(α＋β)＝eq \f(1,5)，则tan α·tan β＝ .
解析：由题意知，cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(3,5)，①
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝eq \f(1,5)，②
由①②得，cs αcs β＝eq \f(2,5)，sin αsin β＝eq \f(1,5)，
则tan αtan β＝eq \f(sin αsin β,cs αcs β)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
10．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且2sin2α－sin αcs α－3cs2α＝0，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))),sin 2α＋cs 2α＋1)＝ .
解析：∵2sin2α－sin αcs α－3cs2α＝0，
∴(2sin α－3cs α)(sin α＋cs α)＝0，
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin α＋cs α＞0，∴2sin α＝3cs α，
又sin2α＋cs2α＝1，∴cs α＝eq \f(2,\r(13))，sin α＝eq \f(3,\r(13))，
∴eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))),sin 2α＋cs 2α＋1)＝eq \f(\f(\r(2),2)sin α＋cs α,sin α＋cs α2＋cs2α－sin2α)
＝eq \f(\r(2),4cs α)＝eq \f(\r(26),8).
答案：eq \f(\r(26),8)
11．(2021·昆明市高考三诊一模)已知sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin(α－β)＝eq \f(1,3).
(1)求证：sin α cs β＝5cs α sin β；
(2)若已知0＜α＋β＜eq \f(π,2)，0＜α－β＜eq \f(π,2)，求cs 2α的值．
解：(1)证明：∵sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β＝eq \f(1,2)，
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(1,3)，
∴2sin αcs β＋2cs αsin β＝1，①
3sin αcs β－3cs αsin β＝1，②
②－①得sin αcs β－5cs αsin β＝0，
则sin αcs β＝5cs αsin β.
(2)∵sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin(α－β)＝eq \f(1,3)，0＜α＋β＜eq \f(π,2)，0＜α－β＜eq \f(π,2)，
∴cs(α＋β)＝eq \f(\r(3),2)，cs(α－β)＝eq \f(2\r(2),3)，
则cs 2α＝cs[(α＋β)＋(α－β)]＝cs(α＋β)cs(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(2\r(2),3)－eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2\r(6)－1,6).
12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，eq \r(3))．
(1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f(x)＝cs(x－α)cs α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝eq \r(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))－2f 2(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))上的值域．
解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，eq \r(3))，
∴sin α＝eq \f(1,2)，cs α＝－eq \f(\r(3),2)，tan α＝－eq \f(\r(3),3).
∴sin 2α－tan α＝2sin αcs α－tan α＝2×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＋eq \f(\r(3),3)＝－eq \f(\r(3),6).
(2)∵f(x)＝cs(x－α)cs α－sin(x－α)sin α＝cs x，
∴g(x)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))－2cs2x＝eq \r(3)sin 2x－1－cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－1.
∵0≤x≤eq \f(2π,3)，
∴－eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6).
∴－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))≤1，
∴－2≤2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－1≤1，
故函数g(x)＝eq \r(3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))－2f2(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))上的值域是[－2,1]．
B级——综合应用
13．已知f(tan x)＝sin2x－sin 2x，记sin α＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，其中α是第四象限角，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )
A．eq \f(1,7)B．－eq \f(1,7)
C．7D．－7
解析：选A ∵f(tan x)＝eq \f(sin2x－2sin xcs x,sin2x＋cs2x)＝eq \f(tan2x－2tan x,tan2x＋1)，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(3,5)，即sin α＝－eq \f(3,5).又α是第四象限角，∴cs α＝eq \f(4,5)，∴tan α＝－eq \f(3,4)，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝eq \f(1,7).故选A．
14．(多选)(2021·青岛市高三质量检测)已知函数f(x)＝sin2x＋2eq \r(3)sin xcs x－cs2x，x∈R，则( )
A．－2≤f(x)≤2
B．f(x)在区间(0，π)上只有1个零点
C．f(x)的最小正周期为π
D．x＝eq \f(π,3)为f(x)图象的一条对称轴
解析：选ACD 已知函数f(x)＝sin2x＋2eq \r(3)sin x·cs x－cs2x＝eq \r(3)sin 2x－cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，x∈R，
对于A：－2≤f(x)≤2，A正确；
对于B：令2x－eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)，k∈Z，
所以f(x)在区间(0，π)上有2个零点，B错误；
对于C：f(x)的最小正周期为π，C正确；
对于D：将x＝eq \f(π,3)代入函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，x∈R，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,3)－\f(π,6)))＝2，
所以x＝eq \f(π,3)为f(x)图象的一条对称轴，D正确．故选A、C、D.
15.如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为eq \f(π,3)的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.
(1)求S关于θ的函数关系式；
(2)求S的最大值及相应的θ角．
解：(1)如图，分别过P，Q作PD⊥OB于点D，QE⊥OB于点E，则四边形QEDP为矩形．由扇形半径为1 m，得PD＝sin θ，OD＝cs θ.
在Rt△OEQ中，
OE＝eq \f(\r(3),3)QE＝eq \f(\r(3),3)PD＝eq \f(\r(3),3)sin θ，
MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cs θ－eq \f(\r(3),3)sin θ，
S＝MN·PD＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs θ－\f(\r(3),3)sin θ))·sin θ
＝sin θcs θ－eq \f(\r(3),3)sin2θ，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))).
(2)S＝eq \f(1,2)sin 2θ－eq \f(\r(3),6)(1－cs 2θ)
＝eq \f(1,2)sin 2θ＋eq \f(\r(3),6)cs 2θ－eq \f(\r(3),6)
＝eq \f(\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,6)))－eq \f(\r(3),6)，
因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，
所以2θ＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
当θ＝eq \f(π,6)时，Smax＝eq \f(\r(3),6)(m2)．
C级——迁移创新
16.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？”设θ＝∠BAC，现有下述四个结论：
①水深为12尺；②芦苇长为15尺；
②taneq \f(θ,2)＝eq \f(2,3)；④taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－eq \f(17,7).
其中所有正确结论的序号是( )
A．①③B．①③④
C．①④D．②③④
解析：选B 设BC＝x尺，则AC＝(x＋1)尺，
在Rt△ABC中，
∵AB＝5，∴52＋x2＝(x＋1)2，
∴x＝12.
∴tan θ＝eq \f(12,5)，
∴tan θ＝eq \f(2tan\f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝eq \f(12,5)，
解得taneq \f(θ,2)＝eq \f(2,3)(负根舍去)．
∵tan θ＝eq \f(12,5)，∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋tan θ,1－tan θ)＝－eq \f(17,7)，
故正确结论的序号为①③④.故选B.