课时过关检测（六十） 离散型随机变量及其分布列

这是一份课时过关检测（六十） 离散型随机变量及其分布列，共6页。
1．(2021·广东海丰高三月考)已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝a，则a＝( )
A．eq \f(2,3)B．eq \f(1,2)
C．eq \f(1,3)D．eq \f(1,4)
解析：选C 因为X的分布列服从两点分布，
所以P(X＝0)＋P(X＝1)＝1，
因为P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝a，所以P(X＝0)＝3－4[1－P(X＝0)]
所以P(X＝0)＝eq \f(1,3)，所以a＝eq \f(1,3)，故选C．
2．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于eq \f(n－mA\\al(2,m),A\\al(3,n))的是( )
A．P(X＝3)B．P(X≥2)
C．P(X≤3)D．P(X＝2)
解析：选D 依题意知，eq \f(n－mA\\al(2,m),A\\al(3,n))是取了3次，所以取出白球应为2个．
3．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝eq \f(16,45)，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )
A．10%B．20%
C．30%D．40%
解析：选B 设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,x)·C\\al(1,10－x),C\\al(2,10))＝eq \f(x10－x,45)＝eq \f(16,45)，∴x＝2或8.
∵次品率不超过40%，∴x＝2，∴次品率为eq \f(2,10)＝20%.
4．(多选)(2021·济宁一中检测)下列说法正确的是( )
A．设随机变量X等可能取1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，则n＝10
B．若随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝n)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n(n＝0,1,2)，其中a是常数，则a＝eq \f(3,4)
C．设离散型随机变量η服从两点分布，若P(η＝1)＝2P(η＝0)，则P(η＝0)＝eq \f(1,3)
D．超几何分布的实质是古典概型问题
解析：选ACD 由题意知，对于A，P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq \f(3,n)＝0.3，∴n＝10，故A正确；对于B，由P(ξ＝n)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n(n＝0,1,2)∴P(ξ＝0)＝a，P(ξ＝1)＝eq \f(a,3)，P(ξ＝2)＝eq \f(a,9)，∴a＋eq \f(a,3)＋eq \f(a,9)＝1，∴a＝eq \f(9,13)，故B错误；对于C，∵P(η＝1)＝2P(η＝0)且P(η＝1)＋P(η＝0)＝1，∴P(η＝0)＝eq \f(1,3)，故C正确；对于D，由超几何分布的定义可知，D正确．
5．(多选)一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是( )
A．取出的最大号码X服从超几何分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为eq \f(1,14)
D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为eq \f(1,14)
解析：选BD 一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4个球，
对于A，超几何分布取出某个对象的结果数不定，
也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n次的试验次数，
由此可知取出的最大号码X不服从超几何分布，故A错误；
对于B，取出的黑球个数Y服从超几何分布，故B正确；
对于C，取出2个白球的概率为P＝eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4),C\\al(4,10))＝eq \f(3,7)，故C错误；
对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，
则取出四个黑球的总得分最大，
即总得分最大的概率为P＝eq \f(C\\al(4,6),C\\al(4,10))＝eq \f(1,14)，故D正确．故选B、D.
6．(2021·江西省临川一中模拟)某射击选手射击环数的分布列为
若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________．
解析：由分布列的性质得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%.
答案：40%
7．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________.
解析：由题意，知X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，故P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(2,7),C\\al(4,10))＝eq \f(3,10).
答案：eq \f(3,10)
8．已知随机变量X的概率分别为p1，p2，p3，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．
解析：由分布列的性质及等差数列的性质得p1＋p2＋p3＝3p2＝1，p2＝eq \f(1,3)，
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p1≥0，,p3≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－d≥0，,\f(1,3)＋d≥0，))得－eq \f(1,3)≤d≤eq \f(1,3).
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3)))
9．在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|.
(1)求随机变量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；
(2)求随机变量X的分布列．
解：(1)由题意知，x，y可能的取值为1,2,3，
则|x－2|≤1，|y－x|≤2，所以X≤3.且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，X＝3，因此，随机变量X的最大值为3.
有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3＝9(种)，
所以P(X＝3)＝eq \f(2,9).
故随机变量X的最大值为3，事件“X取得最大值”的概率为eq \f(2,9).
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.
当X＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况；
当X＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况；
当X＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况；
当X＝3时，有x＝1，y＝3或x＝3，y＝1两种情况．
所以P(X＝0)＝eq \f(1,9)，P(X＝1)＝eq \f(4,9)，P(X＝2)＝eq \f(2,9)，P(X＝3)＝eq \f(2,9).所以X的分布列为
10．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列．
解：(1)由已知，得P(A)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(2,3)＋C\\al(2,3)C\\al(2,3),C\\al(4,8))＝eq \f(6,35).
所以事件A发生的概率为eq \f(6,35).
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，
其中P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,5)C\\al(4－k,3),C\\al(4,8))(k＝1,2,3,4)．
故P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(3,3),C\\al(4,8))＝eq \f(1,14)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(2,3),C\\al(4,8))＝eq \f(3,7)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,5)C\\al(1,3),C\\al(4,8))＝eq \f(3,7)，
P(X＝4)＝eq \f(C\\al(4,5)C\\al(0,3),C\\al(4,8))＝eq \f(1,14)，
所以随机变量X的分布列为
B级——综合应用
11．(多选)(2021·山东烟台模拟)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格．则下列选项正确的是( )
A．答对0题和答对3题的概率相同，都为eq \f(1,8)
B．答对1题的概率为eq \f(3,8)
C．答对2题的概率为eq \f(5,12)
D．合格的概率为eq \f(1,2)
解析：选CD 设此人答对题目的个数为ξ，则ξ＝0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(0,5)C\\al(3,5),C\\al(3,10))＝eq \f(1,12)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(2,5),C\\al(3,10))＝eq \f(5,12)，P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(1,5),C\\al(3,10))＝eq \f(5,12)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(3,5)C\\al(0,5),C\\al(3,10))＝eq \f(1,12)，
则答对0题和答对3题的概率相同，都为eq \f(1,12)，故A错误；答对1题的概率为eq \f(5,12)，故B错误；答对2题的概率为eq \f(5,12)，故C正确；合格的概率P＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq \f(5,12)＋eq \f(1,12)＝eq \f(1,2)，故D正确．故选C、D.
12．长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：
(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数；
(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列．
解：(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为eq \f(12,36)×6＝2.
(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000,3 000]内的有3节，故X的可能取值为0,20,40,60.
P(X＝0)＝eq \f(1,C\\al(2,6))＝eq \f(1,15)，P(X＝20)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2),C\\al(2,6))＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5)，
P(X＝40)＝eq \f(C\\al(1,2)＋C\\al(2,3),C\\al(2,6))＝eq \f(5,15)＝eq \f(1,3)，
P(X＝60)＝eq \f(C\\al(1,3),C\\al(2,6))＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5)，
则X的分布列为
C级——迁移创新
13．某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学学科提供5种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5，每个学生只能从5种数学课程中选择一种学习，该校高二年级1 800 名学生的数学选课人数统计如表所示.
为了了解数学成绩与学生选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这1 800名学生中抽取10人进行分析．
(1)从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率．
(2)从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为X，选择数学1的人数为Y，设随机变量ξ＝X－Y，求随机变量ξ的分布列．
解：抽取的10人中选修数学1的人数应为10×eq \f(180,1 800)＝1(人)，选修数学2的人数应为10×eq \f(540,1 800)＝3(人)，选修数学3的人数应为10×eq \f(540,1 800)＝3(人)，选修数学4的人数应为10×eq \f(360,1 800)＝2(人)，选修数学5的人数应为10×eq \f(180,1 800)＝1(人)．
(1)从10人中选3人共有Ceq \\al(3,10)＝120种选法，并且这120种选法出现的可能性是相同的，有2人选择数学2的选法共有Ceq \\al(2,3)·Ceq \\al(1,7)＝21种，有3人选择数学2的选法有Ceq \\al(3,3)＝1种，所以至少有2人选择数学2的概率为eq \f(22,120)＝eq \f(11,60).
(2)X的可能取值为0,1,2,3，Y的可能取值为0,1，ξ的可能取值为－1,0,1,2,3.
P(ξ＝－1)＝P(X＝0，Y＝1)＝eq \f(C\\al(1,1)·C\\al(2,6),C\\al(3,10))＝eq \f(1,8)；
P(ξ＝0)＝P(X＝0，Y＝0)＋P(X＝1，Y＝1)＝eq \f(C\\al(3,6),C\\al(3,10))＋eq \f(C\\al(1,3)·C\\al(1,1)·C\\al(1,6),C\\al(3,10))＝eq \f(20,120)＋eq \f(18,120)＝eq \f(19,60)；
P(ξ＝1)＝P(X＝1，Y＝0)＋P(X＝2，Y＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)·C\\al(2,6),C\\al(3,10))＋eq \f(C\\al(2,3)·C\\al(1,1),C\\al(3,10))＝eq \f(45,120)＋eq \f(3,120)＝eq \f(2,5)；
P(ξ＝2)＝P(X＝2，Y＝0)＝eq \f(C\\al(2,3)·C\\al(1,6),C\\al(3,10))＝eq \f(3,20)；
P(ξ＝3)＝P(X＝3，Y＝0)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,10))＝eq \f(1,120)，
所以ξ的分布列为
X
7
8
9
10
P
0.3
0.3
a
b
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,9)
eq \f(4,9)
eq \f(2,9)
eq \f(2,9)
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,14)
eq \f(3,7)
eq \f(3,7)
eq \f(1,14)
点击量
[0,1 000]
(1 000,3 000]
(3 000，＋∞)
节数
6
18
12
X
0
20
40
60
P
eq \f(1,15)
eq \f(2,5)
eq \f(1,3)
eq \f(1,5)
课程
数学1
数学2
数学3
数学4
数学5
合计
选课人数
180
540
540
360
180
1 800
ξ
－1
0
1
2
3
P
eq \f(1,8)
eq \f(19,60)
eq \f(2,5)
eq \f(3,20)
eq \f(1,120)