课时过关检测（七） 函数的奇偶性与周期性

这是一份课时过关检测（七） 函数的奇偶性与周期性，共6页。

1．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x2
C．y＝eq \f(1,x) D．y＝x|x|
解析：选D 对于A，y＝x＋1为非奇非偶函数，不满足条件．对于B，y＝－x2是偶函数，不满足条件．对于C，y＝eq \f(1,x)是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．对于D，设f(x)＝x|x|，则f(－x)＝－x|x|＝－f(x)，则函数为奇函数，当x>0时，y＝x|x|＝x2，此时为增函数，当x≤0时，y＝x|x|＝－x2，此时为增函数，综上，y＝x|x|在R上为增函数．故选D.
2．(2021·河北唐山模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－ax，x≤0，,ax2＋x，x＞0))为奇函数，则a＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．±1
解析：选A ∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，则有f(－1)＝－f(1)，即1＋a＝－a－1，即2a＝－2，得a＝－1(符合题意)，故选A.
3．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )
A．ex－e－x B.eq \f(1,2)(ex＋e－x)
C.eq \f(1,2)(e－x－ex) D．eq \f(1,2)(ex－e－x)
解析：选D 因为f(x)＋g(x)＝ex，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝eq \f(1,2)(ex－e－x)．故选D.
4．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1]上是减函数，则有( )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))B．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))解析：选C 因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为4，作出f(x)的草图，如图，由图可知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))5．(多选)(2021·潍坊模拟)已知定义在区间[－7,7]上的一个偶函数，它在[0,7]上的图象如图，则下列说法正确的有( )
A．这个函数有两个单调递增区间
B．这个函数有三个单调递减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值7
D．这个函数在其定义域内有最小值－7
解析：选BC 根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出其在[－7,7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选B、C.
6．(多选)(2021·淄博质检)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )
A．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
B．f(4)＝0
C．f(x＋8)＝f(x)
D．若f(－3)＝－1，则f(2 021)＝－1
解析：选BCD 根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(－x)＝－f(x)，
又由函数f(x＋2)为偶函数，
则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
则有f(－x)＝f(4＋x)，
则有f(x＋4)＝－f(x)，
即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
则函数f(x)是周期为8的周期函数；
据此分析选项：
对于A，函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，A错误；
对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，又由函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(4)＝0，B正确；
对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x＋8)＝f(x)，C正确；
对于D，若f(－3)＝－1，则f(2 021)＝f(－3＋253×8)＝f(－3)＝－1，D正确．
7．函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝________.
解析：∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2.∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋2))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝2×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
8．(2021·北京东城区综合练习)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．
解析：设f(x)＝sin x，则f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2))上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x∈(0,2]时，f(x)>f(0)＝sin 0＝0，故f(x)＝sin x满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不一直都是增函数．
答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)
9．设函数f(x)＝eq \f(x3,x2＋1)＋1在x∈[－9,9]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
解析：f(x)＝eq \f(x3,x2＋1)＋1，其中eq \f(x3,x2＋1)上奇下偶明显是奇函数，最大、最小值之和为零，那么f(x)的最大值与最小值之和就是2×1＝2.
答案：2
10．已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于x＝－1对称，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－4，－1]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
解析：由f(x＋4)＝f(x－2)，得f(x＋6)＝f(x)．
故f(x)是周期为6的函数．
所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)．
因为f(x)的图象关于x＝－1对称，
所以f(1)＝f(－3)．
又x∈[－4，－1]时，f(x)＝6－x，
所以f(－3)＝6－(－3)＝216.
从而f(1)＝216，故f(919)＝216.
答案：216
11．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))为奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，作出f(x)的图象如图所示，
结合f(x)的图象知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2>－1，,a－2≤1，))所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
12．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．
解：(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．
又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，x∈[－1，0]，,x，x∈0，1，,－x＋2，x∈[1，2].))
B级——综合应用
13．(多选)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点，设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则下列说法正确的是( )
A．函数y＝f(x)是偶函数
B．对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x－2)
C．函数y＝f(x)在区间[2,3]上单调递减
D．函数y＝f(x)的值域是[0,1]
解析：选AB 当－2≤x≤－1时，P的轨迹是以A(即(－1,0))为圆心，1为半径的eq \f(1,4)圆；当－1＜x≤1时，P的轨迹是以B(即(0,0))为圆心，eq \r(2)为半径的eq \f(1,4)圆；当1＜x≤2时，P的轨迹是以C(即(1,0))为圆心，1为半径的eq \f(1,4)圆，当2＜x≤3时，P的轨迹是以A(即(3,0))为圆心，1为半径的eq \f(1,4)圆．所以函数f(x)的周期为4，图象如图所示，根据图象的对称性可知y＝f(x)是偶函数，所以A项正确；因为f(x)的周期为4，所以B项正确；函数f(x)在[2,3]上单调递增，所以C项不正确；函数f(x)的值域为[0，eq \r(2) ]，所以D项不正确．故选A、B.
14．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(1)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＋f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝________.
解析：依题意知，函数f(x)为奇函数且周期为2，
则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(1)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＋f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))
＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋0＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋f(0)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))
＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(0)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))
＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(0)
＝2eq \f(1,2)－1＋20－1
＝eq \r(2)－1.
答案：eq \r(2)－1
15．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解：(1)因为对于任意x1，x2∈D有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．证明如下：
f(x)定义域关于原点对称，令x1＝x2＝－1，
有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝eq \f(1,2)f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x－1)<2等价于f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以0<|x－1|<16，解得－15所以x的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．
C级——迁移创新
16．(多选)(2021·徐州月考)如果对定义在R上的奇函数y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数y＝f(x)为“H函数”，下列函数为H函数的是( )
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝ex
C．f(x)＝x3＋3x D．f(x)＝x|x|
解析：选CD 因为任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，
故x1f(x1)－x1f(x2)＞－x2f(x2)＋x2f(x1)，
即(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，所以函数f(x)在R上单调递增．
对于A，y＝sin x在R上不单调，不符合题意；
对于B，y＝ex在R上单调递增，但是非奇非偶函数，不符合题意；
对于C，f′(x)＝3x2＋3＞0恒成立，故f(x)在R上单调递增，符合题意；
对于D，由于y＝x|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≥0，,－x2，x<0，))在R上单调递增，符合题意．故选C、D.