课时过关检测（三十五） 数列求和

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课时过关检测（三十五） 数列求和
A级——基础达标
1．在数列{an}中a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则S60的值为(　　)
A．990 B．1 000
C．1 100 D．99
解析：选A　n为奇数时，an＋2－an＝0，an＝2；n为偶数时，an＋2－an＝2，an＝n.故S60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.
2．(2021·开封市模拟考试)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则S6＝(　　)
A．－63 B．－21
C．21 D．63
解析：选B　设等比数列{an}的公比为q(q≠±1)，由已知条件可得则＝，解得q＝－2，所以a1＝1，S6＝＝＝－21，故选B.
3．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　)
A．n(2n＋3) B．n(n＋4)
C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4)
解析：选A　由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝n(2n＋3)．
4．已知Tn为数列的前n项和，若m>T10＋1 013恒成立，则整数m的最小值为(　　)
A．1 026 B．1 025
C．1 024 D．1 023
解析：选C　∵＝1＋n，
∴Tn＝n＋1－，
∴T10＋1 013＝11－＋1 013＝1 024－，
又m>T10＋1 013，
∴整数m的最小值为1 024.
5．(多选)公差为d的等差数列{an}满足a2＝5，a6＋a8＝30，则下列选项正确的有(　　)
A．d＝2
B．an＝2n＋1
C.＝
D.的前n项和为
解析：选ABD　∵{an}是等差数列，∴a6＋a8＝2a7＝30，
∴a7＝15，∴a7－a2＝5d，又a2＝5，则d＝2，A正确；
∴an＝a2＋(n－2)d＝2n＋1，B正确；
∴＝＝，C错误；
∴的前n项和为＝＝，D正确．故选A、B、D.
6．(多选)数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，则(　　)
A．an＝
B．数列的前100项和为
C．数列的前100项和为
D．数列{an}的第100项为50 050
解析：选AB　因为an＋1＝an＋n＋1，所以an＋1－an＝n＋1，又a1＝1，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝，所以数列{an}的第100项为5 050，故A正确，D错误；所以＝＝2，所以数列的前100项和为2＝2＝，故B正确，C错误．
7．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)，则数列{an}的前n项和Sn＝ .
解析：当n＝2k(k∈N*)时，
Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)
＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[－(2n－3)＋(2n－1)]
＝2＋2＋…＋2＝2k＝n；
当n＝2k－1(k∈N*)时，
Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)－(2n－1)＝－n，
∴Sn＝＝(－1)nn.
答案：(－1)nn
8．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋an＋1＝(n＝1,2,3，…)，则S2n－1＝ .
解析：因为a1＝1，an＋an＋1＝(n＝1,2,3，…)，所以S2n－1＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2n－2＋a2n－1)＝1＋＋＋…＋＝.
答案：
9．(2021·安徽太和模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＋1＋SnSn＋1＝0，则Sn＝ ，数列的前n项和为 ．
解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＋SnSn＋1＝0，
∴Sn＋1－Sn＋SnSn＋1＝0，
∴－＝1.
又∵＝＝1，
∴是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴＝n，∴Sn＝.
∴SnSn＋1＝＝－，
∴Tn＝＋＋…＋
＝1－＝.
答案：　
10．(2021·广东深圳外国语学校一模)已知函数f(x)＝x2cos ，数列{an}中，an＝f(n)＋f(n＋1)(n∈N*)，则数列{an}的前40项之和S40＝ .
解析：因为f(x)＝x2cos ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，所以a1＝f(1)＋f(2)＝0－4＝－4，a2＝f(2)＋f(3)＝－4＋0＝－4，a3＝f(3)＋f(4)＝0＋16＝16，a4＝f(4)＋f(5)＝16，a5＝f(5)＋f(6)＝0－36＝－36，a6＝f(6)＋f(7)＝－36，…，可得数列{an}为－4，－4,16,16，－36，－36,64,64，－100，－100，…，即数列{an}的前40项之和S40＝(－4－4＋16＋16)＋(－36－36＋64＋64)＋(－100－100＋144＋144)＋…＋(－1 444－1 444＋1 600＋1 600)＝24＋56＋88＋…＋312＝×10×(24＋312)＝1 680.
答案：1 680
11．(2021·山东省第一次模拟)在①b1＋b3＝a2；②a4＝b4；③S5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，请说明理由．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列， ，b1＝a5，b2＝3，b5＝－81，是否存在k，使得Sk>Sk＋1且Sk＋1 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：∵b2＝3，b5＝－81，{bn}是等比数列，设{bn}的公比为q，
∴b1＝－1，q＝－3，∴bn＝－(－3)n－1，
∵b1＝a5，∴a5＝－1，设{an}的公差为d.
选①b1＋b3＝a2时，a2＝－10，a5＝－1，
∴d＝3，a1＝－13，
∴Sk＝－13k＋×3＝k2－k，
Sk＋1＝k2－k＋3k－13，
Sk＋2＝k2－k＋6k－23，
要使Sk＋1 只要∴ ∴存在k＝4符合题意．
选②a4＝b4时，a5＝－1，a4＝b4＝27，
∴a1＝111，d＝－28，∴Sk＝125k－14k2，
Sk＋1＝125k－14k2－28k＋111，
Sk＋2＝125k－14k2－56k＋194，
要使Sk＋1 只要
∴k>，且k<，∴不存在符合题意的k值；
选③S5＝－25时，a5＝－1，∴d＝2，a1＝－9，
同理求得∴ ∴存在k＝4符合题意．
12．(2021·山西晋中模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝9，S5＝25.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)设bn＝(－1)nSn，求{bn}的前n项和Tn.
解：(1)由题意，得S5＝＝＝5a3＝25，得a3＝5，设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝2，∴an＝a3＋(n－3)·d＝5＋2(n－3)＝2n－1，n∈N*.则a1＝2×1－1＝1，
∴Sn＝＝n2.
(2)由(1)知，bn＝(－1)nSn＝(－1)nn2，
①当n为偶数时，n－1为奇数，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－12＋22－32＋42－…－(n－1)2＋n2＝(22－12)＋(42－32)＋…＋[n2－(n－1)2]
＝(2＋1)(2－1)＋(4＋3)(4－3)＋…＋[n＋(n－1)]·[n－(n－1)]
＝1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)＋n
＝；
②当n为奇数时，n－1为偶数，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－12＋22－32＋42－…－(n－2)2＋(n－1)2－n2＝(22－12)＋(42－32)＋…＋[(n－1)2－(n－2)2]－n2＝(2＋1)(2－1)＋(4＋3)(4－3)＋…＋[(n－1)＋(n－2)][(n－1)－(n－2)]－n2＝1＋2＋3＋4＋…＋(n－2)＋(n－1)－n2＝－n2＝－.
综上所述，Tn＝(－1)n.
B级——综合应用
13．(多选)已知数列{an}满足a1＝，an＝a＋an－1(n≥2，n∈N*)．记数列{a}的前n项和为An，数列的前n项和为Bn，则下列结论正确的是(　　)
A．An＝an＋1－ B．Bn＝－
C.＝an D．<
解析：选ABD　由an＝a＋an－1，得a＝an－an－1≥0，所以an≥an－1≥，An＝a＋a＋…＋a＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an＋1－an＝an＋1－a1＝an＋1－，故A正确；由an＝a＋an－1＝an－1(an－1＋1)，得＝＝－，即＝－，所以Bn＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－＝－，故B正确；易知An≠0，Bn≠0，所以＝＝an＋1，故C不正确；易知an＝a＋an－1<2a，所以an＋1<2a<23a<…<22n－1a＝22n－1×2n＝×32n，所以＝an＋1<××32n＝，故D正确．故选A、B、D.
14．(2021·江西五校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2an－Sn＝2，记数列的前n项和为Tn，若对于任意n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，则实数k的取值范围为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选A　由题意Sn＝2an－2，所以Sn－1＝2an－1－2(n≥2)．两式相减，得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝S1＝2a1－2，所以a1＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以an＝2n，所以＝＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝－＝－＜，实数k的取值范围为.故选A.
15．(2021·西南名校联考)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足S4＝10，a5＝5.Tn为数列{bn}的前n项和，满足Tn＝(4n－1)，n∈N*.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝log2bn＋，若数列{cn}的前n项和Kn＜100，求n的最大值．
解：(1)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，设首项为a1，公差为d，
由于满足S4＝10，a5＝5.
所以解得
所以an＝1＋(n－1)＝n.
Tn为数列{bn}的前n项和，满足Tn＝(4n－1)，①
当n＝1时，b1＝4，
当n≥2时，Tn－1＝(4n－1－1)，②
①－②得bn＝Tn－Tn－1＝4n，
因为b1＝4也适合上式，
所以bn＝4n.
(2)由(1)得设cn＝log2bn＋＝log24n＋＝2n＋.
所以Kn＝c1＋c2＋…＋cn＝2(1＋2＋…＋n)＋＝n(n＋1)＋1－，
数列{cn}的前n项和Kn＜100，
所以n(n＋1)＋1－<100，
当n＝9时，K9＜100，
当n＝10时，K10＞100.
所以n的最大值为9.

C级——迁移创新
16．(2021·四川石室中学二诊)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝n－n2(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(k∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn.若T2n＝an－＋b对n∈N*恒成立，求实数a，b的值．
解：(1)①当n＝1时，由2S1＝2a1＝1－12得a1＝0；
②当n≥2时，2an＝2Sn－2Sn－1＝n－n2－[(n－1)－(n－1)2]＝2－2n，则an＝1－n(n≥2)，
显然当n＝1时也适合上式，
∴an＝1－n(n∈N*)．
(2)∵＝＝－，
∴T2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)
＝(20＋2－2＋…＋22－2n)＋
＝＋－
＝－n－.
∵T2n＝an－＋b对n∈N*恒成立，
∴a＝－，b＝.