课时过关检测（五十九） 随机事件的概率及古典概型

这是一份课时过关检测（五十九） 随机事件的概率及古典概型，共7页。

1．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”( )
A．是对立事件 B．是不可能事件
C．是互斥但不对立事件D．不是互斥事件
解析：选C 显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时都不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件．
2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是eq \f(1,7)，都是白子的概率是eq \f(12,35).则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A．eq \f(1,7) B．eq \f(12,35)
C．eq \f(17,35) D．1
解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．
由于P(A)＝eq \f(1,7)，P(B)＝eq \f(12,35).
所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(1,7)＋eq \f(12,35)＝eq \f(17,35).
3．(2021·广州市阶段训练)羽毛球混合双打比赛每队由一男一女2名运动员组成，某班级从3名男生A1，A2，A3和3名女生B1，B2，B3中各随机选出2名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则A1和B1 2人组成一队参加比赛的概率为( )
A．eq \f(1,9)B．eq \f(2,9)
C．eq \f(1,3)D．eq \f(4,9)
解析：选B 从3名男生和3名女生中各随机选出2名，选出的4人的组队方法有Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝18(种)，其中A1和B1 2人组成一队参加比赛的组队方法有2×2＝4(种)，所以所求概率P＝eq \f(4,18)＝eq \f(2,9)，故选B.
4．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为( )
A．eq \f(1,10)B．eq \f(1,5)
C．eq \f(3,10)D．eq \f(2,5)
解析：选C 将5张奖票不放回地依次取出共有Aeq \\al(5,5)＝120(种)不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)＝36(种)取法，所以P＝eq \f(36,120)＝eq \f(3,10).
5．(多选)(2021·山东省淄博实验中学模拟)下列四个命题错误的是( )
A．对立事件一定是互斥事件
B．若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
C．若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D．若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件
解析：选BCD 在A中，对立事件一定是互斥事件，故A正确；在B中，若A，B为两个互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，若A，B不为两个互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，故B错误；在C中，若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)≤1，故C错误；在D中，若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B有可能不是对立事件．
6．(多选)(2021·烟台市教育科学研究院模拟)已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1,2,3,4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1,2,3,5,6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则( )
A．事件A发生的概率为eq \f(1,2)
B．事件A∪B发生的概率为eq \f(11,20)
C．事件A∩B发生的概率为eq \f(2,5)
D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为eq \f(1,5)
解析：选BC 由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,5)＝20个样本点；
“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的样本点有：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共11个样本点；
“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的样本点有：(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共8个样本点；
即事件B是事件A的子事件；
因此事件A发生的概率为eq \f(11,20)，故A错误；
事件A∪B包含的样本点个数为11个，所以事件A∪B发生的概率为eq \f(11,20)，故B正确；
事件A∩B包含的样本点个数为8个，所以事件A∩B发生的概率为eq \f(8,20)＝eq \f(2,5)，故C正确；
从甲罐中抽到标号为2的小球，包含的样本点为：(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,5)，(2,6)共5个样本点，故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为eq \f(1,4).故选B、C．
7．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28.若红球有21个，则黑球有________个．
解析：摸到黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n个，则eq \f(0.42,21)＝eq \f(0.3,n)，故n＝15.
答案：15
8．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为eq \f(2,5)，且P(A)＝2P(B)，则P(eq \x\t(A))＝________.
解析：因为事件A，B都不发生的概率为eq \f(2,5)，
所以P(A∪B)＝1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5)，又因为事件A，B互斥，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(3,5)，因为P(A)＝2P(B)，所以P(A)＝eq \f(2,5)，所以P(eq \x\t(A))＝1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5).
答案：eq \f(3,5)
9．(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
解析：eq \x\t(x)＝eq \f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.
则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.
答案：0.98
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正十边形A1A2A3…A10的中心，A1在x轴正半轴上，任取不同的两点Ai，Aj(其中1≤i≤10,1≤j≤10，且i∈N，j∈N)，点P满足2eq \(OP,\s\up7(―→))＋eq \(OA,\s\up7(―→))i＋eq \(OA,\s\up7(―→))j＝0，则点P落在第二象限的概率是________．
解析：在正十边形A1A2A3…A10的十个顶点中任取两个，不同的取法有45种，满足2eq \(OP,\s\up7(―→))＋eq \(OA,\s\up7(―→))i＋eq \(OA,\s\up7(―→))j＝0，且点P落在第二象限的不同取法有(A1，A7)，(A1，A8)，(A1，A9)，(A1，A10)，(A2，A8)，(A2，A9)，(A8，A10)，(A9，A10)，共8种，所以点P落在第二象限的概率为eq \f(8,45).
答案：eq \f(8,45)
11．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品，现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
B配方的频数分布表
(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2，t＜94，,2，94≤t＜102，,4，t≥102.))估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．
解：(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为eq \f(22＋8,100)＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为eq \f(32＋10,100)＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
(2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.
用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润为eq \f(1,100)×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)．
12．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解：(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为eq \f(6,300)＝eq \f(1,50)，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×eq \f(1,50)＝1，150×eq \f(1,50)＝3,100×eq \f(1,50)＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.
(2)法一：设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：
A，B1，B2，B3，C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会相等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝eq \f(4,15)，
即这2件商品来自相同地区的概率为eq \f(4,15).
法二：这2件商品来自相同地区的概率为eq \f(C\\al(2,3)＋C\\al(2,2),C\\al(2,6))＝eq \f(3＋1,15)＝eq \f(4,15).
B级——综合应用
13．2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁App抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为( )
A．eq \f(1,6)B．eq \f(1,3)
C．eq \f(2,3)D．eq \f(5,6)
解析：选D 小王和小李至多1人被选中的反面为小王和小李都被选中．设A＝{小李和小王至多1人被选中}，B＝{小李和小王都被选中}，则B包含1个基本事件，所有基本事件的个数为6，∴P(A)＝1－P(B)＝1－eq \f(1,6)＝eq \f(5,6).
14．(多选)(2021·山东滨州十二校联考)设集合M＝{2,3,4}，N＝{1,2,3,4}，分别从集合M和N中随机取一个元素m与n.记“点P(m，n)落在直线x＋y＝k上”为事件Ak(3≤k≤8，k∈N*)．若事件Ak的概率最大，则k的取值可能是( )
A．4B．5
C．6D．7
解析：选BC 由题意，得点P(m，n)的所有可能情况为(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12个．事件A3：点P(m，n)落在直线x＋y＝3上，包含(2,1)，共1个基本事件，所以P(A3)＝eq \f(1,12)；事件A4：点P(m，n)落在直线x＋y＝4上，包含(2,2)，(3,1)，共2个基本事件，所以P(A4)＝eq \f(2,12)＝eq \f(1,6)；事件A5：点P(m，n)落在直线x＋y＝5上，包含(2,3)，(3,2)，(4,1)，共3个基本事件，所以P(A5)＝eq \f(3,12)＝eq \f(1,4)；事件A6：点P(m，n)落在直线x＋y＝6上，包含(2,4)，(3,3)，(4,2)，共3个基本事件，所以P(A6)＝eq \f(3,12)＝eq \f(1,4)；事件A7：点P(m，n)落在直线x＋y＝7上，包含(3,4)，(4,3)，共2个基本事件，所以P(A7)＝eq \f(2,12)＝eq \f(1,6)；事件A8：点P(m，n)落在直线x＋y＝8上，包含(4,4)，共1个基本事件，所以P(A8)＝eq \f(1,12).综上可知，当k＝5或k＝6时，P(Ak)max＝P(A5)＝P(A6)＝eq \f(1,4).故选B、C．
15．在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率．
解：(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)＝eq \f(A\\al(3,3),C\\al(2,5)A\\al(4,4))＝eq \f(1,40)，
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是eq \f(1,40).
(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)＝eq \f(A\\al(4,4),C\\al(2,5)A\\al(4,4))＝eq \f(1,10)，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(eq \x\t(E))＝1－P(E)＝eq \f(9,10).
(3)因为有两人同时参加A岗位服务的概率P2＝eq \f(C\\al(2,5)A\\al(3,3),C\\al(2,5)A\\al(4,4))＝eq \f(1,4)，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1＝1－P2＝eq \f(3,4).
C级——迁移创新
16．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．
现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．
解析：“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为
p＝eq \f(11＋10＋7＋8,6＋7＋8＋8＋10＋10＋11)＝eq \f(3,5).
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．
故他属于不超过2个小组的概率是
p＝1－eq \f(8,6＋7＋8＋8＋10＋10＋11)＝eq \f(13,15).
答案：eq \f(3,5) eq \f(13,15)
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
8
20
42
22
8
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
4
12
42
32
10
地区
A
B
C
数量
50
150
100