课时过关检测（五十） 双曲线

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1．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为 eq \r(5)，则双曲线的标准方程为( )
A．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1 B．x2－eq \f(y2,4)＝1
C．eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1D．x2－eq \f(y2,6)＝1
解析：选A 因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，所以a＝2，由离心率为eq \r(5)，可得eq \f(c,a)＝eq \r(5)，c＝2eq \r(5)，所以b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(20－4)＝4，则双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1.
2．(2021·广东广州增城区调研)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，焦距为6eq \r(2)，则该双曲线的实轴长为( )
A．3B．6
C．9D．12
解析：选B 因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＝－1.又因为焦距为6eq \r(2)，故2c＝6eq \r(2)，结合a2＋b2＝c2，解得a＝3，b＝3，c＝3eq \r(2)，故实轴长2a＝6.故选B.
3．(2021·昆明市三诊一模)已知F2为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，且F2在C的渐近线上的射影为点H，O为坐标原点，若|OH|＝|F2H|，则C的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B．eq \r(3)x±y＝0
C．x±eq \r(3)y＝0D．x±2y＝0
解析：选A 由题意F2H⊥OH，∴|F2H|＝eq \f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，又|F2O|＝c，∴|OH|＝eq \r(c2－b2)＝a，又|OH|＝|F2H|，∴a＝b，∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±x，即x±y＝0.故选A．
4．(2021·长沙市四校模拟考试)若双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A到一条渐近线的距离为eq \f(2\r(2),3)a，则双曲线的离心率为( )
A．eq \f(2\r(2),3)B．eq \f(1,3)
C．3D．2eq \r(2)
解析：选C 由题意得右顶点A(a,0)，渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，所以点A到一条渐近线的距离d＝eq \f(ab,\r(a2＋b2))＝eq \f(ab,c)＝eq \f(2\r(2),3)a，所以eq \f(b,c)＝eq \f(2\r(2),3)，所以eq \f(b2,c2)＝eq \f(c2－a2,c2)＝1－eq \f(a2,c2)＝eq \f(8,9)，得eq \f(c2,a2)＝9，所以e＝eq \f(c,a)＝3，故选C．
5．(多选)已知双曲线C上的点到点(2,0)和(－2,0)的距离之差的绝对值为2，则下列选项正确的是( )
A．双曲线C的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±2x
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为eq \r(3)
D．圆x2＋y2＝4与双曲线C恰有两个公共点
解析：选AC 根据双曲线的定义得c＝2,2a＝2，所以a＝1，b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(4－1)＝eq \r(3)，所以双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1，A项正确；由双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1，得双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，B项错误；双曲线C的一个焦点坐标为(2,0)，则其到渐近线的距离d＝eq \f(|±2\r(3)|,\r(1＋3))＝eq \r(3)，C项正确；圆x2＋y2＝4的圆心为原点，半径为2，而双曲线的实轴端点坐标为(±1,0)，所以圆与双曲线的公共点有4个，D项错误．故选A、C．
6．(多选)(2021·山东滨州模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的条件是( )
A．双曲线的离心率为eq \f(5,4)
B．双曲线过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(9,4)))
C．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0
D．双曲线的实轴长为4
解析：选ABC 由题意可得焦点在x轴上，且c＝5，A选项，若双曲线的离心率为eq \f(5,4)，则a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，此时双曲线的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，故A正确；B选项，若双曲线过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(9,4)))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(25,a2)－\f(\f(81,16),b2)＝1，,a2＋b2＝25，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝16，,b2＝9，))此时双曲线的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝m(m>0)，所以c2＝16m＋9m＝25，解得m＝1，所以此时双曲线的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，故C正确；D选项，若双曲线的实轴长为4，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝21，此时双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,21)＝1，故D错误．故选A、B、C．
7．双曲线C的焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5,2)，则该双曲线的标准方程为________．
解析：由题意得2a＝|eq \r(－5＋62＋22)－eq \r(－5－62＋22)|＝4eq \r(5)，所以a＝2eq \r(5)，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16，所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,20)－eq \f(y2,16)＝1.
答案：eq \f(x2,20)－eq \f(y2,16)＝1
8．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
解析：双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得eq \f(b,a)＝1.又正方形OABC的边长为2，所以c＝2eq \r(2)，所以a2＋b2＝c2＝(2eq \r(2))2，解得a＝2.
答案：2
9．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cs∠F1PF2＝________.
解析：∵由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，∴|PF1|＝2|PF2|＝4eq \r(2)，
则cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(4\r(2)2＋2\r(2)2－42,2×4\r(2)×2\r(2))
＝eq \f(3,4).
答案：eq \f(3,4)
10.如图，F1和F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
解析：设|F1F2|＝2c，连接AF1(图略)，
∵△F2AB是等边三角形，且F1F2是⊙O的直径，
∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，
∴|AF1|＝c，|AF2|＝eq \r(3)c，
2a＝eq \r(3)c－c，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)－1)＝eq \r(3)＋1.
答案：eq \r(3)＋1
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq \r(2)，且过点(4，－eq \r(10))．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上．
解：(1)因为离心率e＝eq \r(2)，
所以双曲线为等轴双曲线．
可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
则由点(4，－eq \r(10))在双曲线上．
可得λ＝42－(－eq \r(10))2＝6.
所以双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)证明：因为点M(3，m)在双曲线上，
所以32－m2＝6，所以m2＝3.
又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1(－2eq \r(3)，0)，F2(2eq \r(3)，0)，
所以eq \(MF1,\s\up7(―→))·eq \(MF2,\s\up7(―→))＝(－2eq \r(3)－3，－m)·(2eq \r(3)－3，－m)＝(－3)2－(2eq \r(3))2＋m2＝9－12＋3＝0.所以MF1⊥MF2，所以点M在以F1F2为直径的圆上．
12．设A，B分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4eq \r(3)，焦点到渐近线的距离为eq \r(3).
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝eq \f(\r(3),3)x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使eq \(OM,\s\up7(―→))＋eq \(ON,\s\up7(―→))＝teq \(OD,\s\up7(―→)) (O为坐标原点)，求t的值及点D的坐标．
解：(1)由题意知a＝2eq \r(3)，
因为一条渐近线为y＝eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0，
所以由焦点到渐近线的距离为eq \r(3)，得eq \f(|bc|,\r(b2＋a2))＝eq \r(3).
又因为c2＝a2＋b2，所以b2＝3，
所以双曲线的方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,3)＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)(x0＞0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
将直线方程y＝eq \f(\r(3),3)x－2代入双曲线方程eq \f(x2,12)－eq \f(y2,3)＝1得x2－16eq \r(3)x＋84＝0，
则x1＋x2＝16eq \r(3)，y1＋y2＝eq \f(\r(3),3)(x1＋x2)－4＝12.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x0,y0)＝\f(4\r(3),3)，,\f(x\\al(2,0),12)－\f(y\\al(2,0),3)＝1.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝4\r(3)，,y0＝3.))
所以t＝4，点D的坐标为(4eq \r(3)，3)．
B级——综合应用
13．(多选)已知点P是双曲线E：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的右支上一点，F1，F2为双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有( )
A．点P的横坐标为eq \f(20,3)
B．△PF1F2的周长为eq \f(80,3)
C．∠F1PF2小于eq \f(π,3)
D．△PF1F2的内切圆半径为eq \f(3,2)
解析：选ABCD 如图，双曲线E：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的a＝4，b＝3，c＝5，不妨设P(m，n)，m＞0，n＞0，由△PF1F2的面积为20，可得eq \f(1,2)|F1F2|n＝cn＝5n＝20，即n＝4.由eq \f(m2,16)－eq \f(16,9)＝1，可得m＝eq \f(20,3)，故A正确；由Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,3)，4))，且F1(－5,0)，F2(5,0)，可得kPF1＝eq \f(12,35)，keq \a\vs4\al(PF2)＝eq \f(12,5)，则tan∠F1PF2＝eq \f(\f(12,5)－\f(12,35),1＋\f(12×12,5×35))＝eq \f(360,319)∈(0，eq \r(3))，则∠F1PF2＜eq \f(π,3)，故C正确；由|PF1|＋|PF2|＝ eq \r(16＋\f(352,9))＋ eq \r(16＋\f(25,9))＝eq \f(37,3)＋eq \f(13,3)＝eq \f(50,3)，则△PF1F2的周长为eq \f(50,3)＋10＝eq \f(80,3)，故B正确；设△PF1F2的内切圆半径为r，可得eq \f(1,2)r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)＝eq \f(1,2)·|F1F2|·4，可得eq \f(80,3)r＝40，解得r＝eq \f(3,2)，故D正确．故选A、B、C、D.
14．(2021·福州市适应性考试)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为l1与l2，若点A，B为l1上关于原点对称的不同两点，点M为l2上一点，且kAM·kBM＝eq \f(\r(3)b,a)，则双曲线C的离心率为________．
解析：不妨设直线l1的方程为y＝eq \f(b,a)x，则直线l2的方程为y＝－eq \f(b,a)x.设点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(b,a)x1))，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，－\f(b,a)x2))，则点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x1，－\f(b,a)x1))，kAM＝eq \f(\f(b,a)x1＋x2,x1－x2)，kBM＝eq \f(－\f(b,a)x1＋\f(b,a)x2,－x1－x2)＝eq \f(\f(b,a)x1－x2,x1＋x2)，所以kAM·kBM＝eq \f(b2,a2)＝eq \f(\r(3)b,a)，所以eq \f(b,a)＝eq \r(3)，所以e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝2.
答案：2
15．(2021·全国统一考试模拟演练)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
解：(1)设双曲线的离心率为e，焦距为2c，
在eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1中，
当BF⊥AF时，点B的横坐标为c，
则B点的纵坐标为y＝±eq \f(b2,a)，
因|AF|＝|BF|，
所以a＋c＝eq \f(b2,a)，即a2＋ac＝b2，
a2＋ac＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，又e＞1，解得e＝2.
(2)由(1)知2a＝c，b2＝3a2，
所以双曲线方程可化为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3a2)＝1.
如图，设B(x，y)(x＞0，y＞0)，
则kAB＝eq \f(y,x＋a)，kBF＝eq \f(y,x－c)，
设∠BAF＝θ，则tan θ＝eq \f(y,x＋a)，
所以tan 2θ＝eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝eq \f(2·\f(y,x＋a),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x＋a)))2)＝eq \f(2x＋ay,x＋a2－y2)＝eq \f(2x＋ay,x＋a2－3a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)－1)))＝eq \f(2x＋ay,－2x2＋2ax＋4a2)＝eq \f(y,2a－x)＝eq \f(y,c－x)＝－kBF＝tan∠BFA，
又因为0≤2∠BAF＜π，0≤∠BFA＜π，所以∠BFA＝2∠BAF.
C级——迁移创新
16．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位．通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位．我们来看一种简单的“特殊”状况：如图所示，已知三个发射台分别为A，B，C且刚好三点共线，已知AB＝34海里，AC＝20海里．现以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建系．现根据船P上接收到C发射台与A发射台发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P在双曲线eq \f(x－272,36)－eq \f(y2,64)＝1的左支上，若船P上接收到A发射台发射的电磁波比B发射台发射的电磁波早185.2 μs(已知电磁波在空气中的传播速度约为0.3 km/μs，1海里＝1.852 km)，则点P的坐标(单位：海里)为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(90,7)，±\f(32\r(11),7)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(135,7)，±\f(32\r(2),7)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(17，±\f(32,3)))D．(45，±16eq \r(2))
解析：选B 设由船P到B发射台和到A发射台的距离差确定的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(x≥a)，因为船P上接收到A发射台发射的电磁波比B发射台发射的电磁波早185.2 μs，则船P到B发射台和到A发射台的距离差为|PB|－|PA|＝2a＝eq \f(185.2×0.3,1.852)＝30海里，故a＝15，又c＝17，故b＝8，故由船P到B发射台和到A发射台的距离差所确定的双曲线为eq \f(x2,225)－eq \f(y2,64)＝1(x≥15)，联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－272,36)－\f(y2,64)＝1x≤21，,\f(x2,225)－\f(y2,64)＝1x≥15，))
解得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(135,7)，±\f(32\r(2),7)))，故选B.