课时过关检测（四十五） 两直线的位置关系

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1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直D．不能确定
解析：选C 直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－eq \f(1,2)，则k1≠k2，且k1k2≠－1，所以两直线相交但不垂直．
2．(2021·山东淄博模拟)已知直线l的倾斜角为eq \f(3π,4)，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为( )
A．0B．1
C．6D．0或6
解析：选C 由直线l的倾斜角为eq \f(3π,4)得l的斜率为－1，
因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1.
又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，
所以l1的斜率为eq \f(3,3－a)，故eq \f(3,3－a)＝－1，解得a＝6.
3．点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为eq \r(2)，则点P的坐标为( )
A．(1,2)B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)
解析：选C 设P(x,5－3x)，则d＝eq \f(|x－5＋3x－1|,\r(12＋－12))＝eq \r(2)，解得x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．
4．如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为( )
A．x－y＋1＝0B．x＋y＋1＝0
C．x－y－1＝0D．x＋y－1＝0
解析：选A 因为直线AB的斜率为eq \f(a＋1－a,a－1－a)＝－1，所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a－1,2)，\f(2a＋1,2)))，所以eq \f(2a＋1,2)＝eq \f(2a－1,2)＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.故选A．
5．(多选)已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能构成三角形，则m的值可以为( )
A．eq \f(2,3)B．－eq \f(4,3)
C．－eq \f(2,3)D．eq \f(4,3)
解析：选ABC 当m＝eq \f(2,3)时，直线l1与l3平行，故三条直线构不成三角形．当m＝－eq \f(4,3)时，直线l2与l3平行，故三条直线构不成三角形．当m＝－eq \f(2,3)时，l1，l2，l3交于同一点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,3)))，故三条直线也构不成三角形．当m＝eq \f(4,3)时，三条直线两两相交，且不过同一点，故三条直线能构成三角形．
6.(多选)(2021·南京市高三模拟)如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．则下列四个选项中正确的是( )
A．若p＝q＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个
B．若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有2个
C．若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个
D．若p＝q，则点M在一条过点O的直线上
解析：选ABC 若p＝q＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，故A正确；若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为(0，q)或(p,0)的点有且仅有2个，故B正确；若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个，如图，故C正确；若p＝q，则点M的轨迹是两条过O点的直线，分别为交角的平分线所在直线，故D不正确．故选A、B、C．
7．已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为eq \f(π,4)，则a＝______；若l1⊥l2，则a＝______；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________．
解析：若直线l1的倾斜角为eq \f(π,4)，则－a＝k＝taneq \f(π,4)＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，则a×1＋1×(－1)＝0，故a＝1；若l1∥l2，则a＝－1，l1：x－y＋1＝0，两平行直线间的距离d＝eq \f(|1－－3|,\r(2))＝2eq \r(2).
答案：－1 1 2eq \r(2)
8．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，若|AB|取得最小值，则实数a的值是________．
解析：|AB|＝eq \r(5－a－12＋2a－1－a＋42)
＝eq \r(2a2－2a＋25)＝ eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋\f(49,2))，
所以当a＝eq \f(1,2)时，|AB|取得最小值．
答案：eq \f(1,2)
9．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k的值为________．
解析：直线l1，l2恒过点P(2,4)，直线l1在y轴上的截距为4－k，直线l2在x轴上的截距为2k2＋2，因为0＜k＜4, 所以4－k＞0,2k2＋2＞0，所以四边形的面积S＝eq \f(1,2)×2×(4－k)＋eq \f(1,2)×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故当k＝eq \f(1,8)时，面积最小．
答案：eq \f(1,8)
10．已知点P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，则过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程为________．
解析：当直线与点P1，P2的连线所在的直线平行时，由直线P1P2的斜率k＝eq \f(3－5,2＋4)＝－eq \f(1,3)，得所求直线的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线过线段P1P2的中点时，因为线段P1P2的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为x＝－1.综上所述，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
答案：x＋3y－5＝0或x＝－1
11．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
解：(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－8＋n＝0，,2m－m－1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝7.))
即m＝1，n＝7时，l1与l2相交于点P(m，－1)．
(2)∵l1∥l2，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－16＝0，,－m－2n≠0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝4，,n≠－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n≠2.))
即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.
(3)当且仅当2m＋8m＝0，
即m＝0时，l1⊥l2.
又－eq \f(n,8)＝－1，∴n＝8.
即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
12．正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．
解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离
d＝eq \f(|－1－5|,\r(1＋9))＝eq \f(3\r(10),5).
设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，
则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离
d＝eq \f(|－1＋m|,\r(1＋9))＝eq \f(3\r(10),5)，解得m＝－5(舍去)或m＝7，
所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.
设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，
则点C到直线3x－y＋n＝0的距离
d＝eq \f(|－3＋n|,\r(9＋1))＝eq \f(3\r(10),5)，解得n＝－3或n＝9，
所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.
B级——综合应用
13．若直线y＝－eq \f(\r(3),3)x＋1和x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC．若在第一象限内有一点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(1,2)))，使得△ABP和△ABC的面积相等，则m的值为( )
A．eq \f(3\r(3),2)B．2eq \r(3)
C．eq \f(5\r(3),2)D．3eq \r(3)
解析：选C 过点C作直线l，使l∥AB(图略)，则点P在直线l上．由题意易知，A(eq \r(3)，0)，B(0,1)，则|AB|＝2，所以点C到直线AB的距离d＝eq \r(22－12)＝eq \r(3). 直线AB的方程可化为eq \r(3)x＋3y－3＝0，由△ABP和△ABC的面积相等，可知点P到直线AB的距离等于点C到直线AB的距离，即eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(3)m＋3×\f(1,2)－3)),\r(\r(3)2＋32))＝eq \r(3)，解得m＝－eq \f(3\r(3),2)或m＝eq \f(5\r(3),2).因为点P在第一象限，所以m＝eq \f(5\r(3),2).故选C．
14．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
解析：如图，易知定点A(0,0)，B(1,3)，且无论m取何值，两直线垂直．
所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上)．
所以|PA|·|PB|≤eq \f(1,2)(|PA|2＋|PB|2)＝5.
当且仅当|PA|＝|PB|＝eq \r(5)时等号成立．
答案：5
15．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2)．
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4eq \r(2).
解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线，因为方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2，))故直线经过的定点为M(2，－2)．
(2)证明：过P作直线的垂线段PQ(图略)，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，所以M与Q不可能重合，而|PM|＝4eq \r(2)，所以|PQ|＜4eq \r(2)，故所证成立．
C级——迁移创新
16．(2021·陕西渭南一模)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤1，若将军从点A(2，0)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A．eq \r(10)－1B．2eq \r(2)－1
C．2eq \r(2)D．eq \r(10)
解析：选A 设点A(2,0)关于直线x＋y＝3的对称点为A′(a，b)，
则AA′的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2＋a,2)，\f(b,2)))，kAA′＝eq \f(b,a－2)，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a－2)·－1＝－1，,\f(a＋2,2)＋\f(b,2)＝3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1.))
从点A到河岸，再到军营的最短总路程，即为点A′到军营最短的距离，
故“将军饮马”的最短总路程为eq \r(32＋12)－1＝eq \r(10)－1，故选A．