课时过关检测（五十三） 定点、定值问题

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(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)由题意得，c＝eq \r(3)，eq \f(a,b)＝2，a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝1，
∴椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,x2＋4y2＝4，))消去y，
可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
∴Δ＝16(4k2＋1－m2)＞0，x1＋x2＝eq \f(－8km,4k2＋1)，x1x2＝eq \f(4m2－4,4k2＋1).
∵点B在以线段MN为直径的圆上，
∴eq \(BM,\s\up7(―→))·eq \(BN,\s\up7(―→))＝0.
∵eq \(BM,\s\up7(―→))·eq \(BN,\s\up7(―→))＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0，
∴(k2＋1)eq \f(4m2－4,4k2＋1)＋k(m－1)eq \f(－8km,4k2＋1)＋(m－1)2＝0，
整理，得5m2－2m－3＝0，
解得m＝－eq \f(3,5)或m＝1(舍去)．
∴直线l的方程为y＝kx－eq \f(3,5).
易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意．
故直线l过定点，且该定点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(3,5))).
2．(2021·六校联盟第二次联考)在直角坐标系xOy中，动点P与定点F(1,0)的距离和它到定直线x＝4的距离之比是1∶2，设动点P的轨迹为E.
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)设过F的直线交轨迹E的弦为AB，过原点的直线交轨迹E的弦为CD，若CD∥AB，求证：eq \f(|CD|2,|AB|)为定值．
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，由题意得eq \f(\r(x－12＋y2),|x－4|)＝eq \f(1,2)，将两边平方，并化简得eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，
故轨迹E的方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，易求得|AB|＝3，|CD|＝2eq \r(3)，
则eq \f(|CD|2,|AB|)＝4.
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，依题意知k≠0，
则直线AB的方程为y＝k(x－1)，直线CD的方程为y＝kx.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝kx－1))得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝eq \f(8k2,3＋4k2)，x1x2＝eq \f(4k2－12,3＋4k2)，
|AB|＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8k2,3＋4k2)))2－4·\f(4k2－12,3＋4k2))＝eq \f(121＋k2,3＋4k2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝kx))整理得x2＝eq \f(12,3＋4k2)，则|x3－x4|＝eq \f(4\r(3),\r(3＋4k2)) .
|CD|＝eq \r(1＋k2)×|x3－x4|＝4eq \r(\f(31＋k2,3＋4k2)).
∴eq \f(|CD|2,|AB|)＝eq \f(481＋k2,3＋4k2)·eq \f(3＋4k2,121＋k2)＝4.
综合①②知eq \f(|CD|2,|AB|)＝4，为定值．
3．已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
解：(1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，
得p＝2.
所以抛物线C的方程为x2＝－4y，
其准线方程为y＝1.
(2)证明：抛物线C的焦点为F(0，－1)．
设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,x2＝－4y))
得x2＋4kx－4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.
直线OM的方程为y＝eq \f(y1,x1)x.
令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－eq \f(x1,y1).
同理得点B的横坐标xB＝－eq \f(x2,y2).
设点D(0，n)，
则eq \(DA,\s\up7(―→))eq \(DB,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x1,y1)，－1－n))，
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x2,y2)，－1－n))，
eq \(DB,\s\up7(―→))·eq \(DB,\s\up7(―→))＝eq \f(x1x2,y1y2)＋(n＋1)2
＝eq \f(x1x2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x\\al(2,1),4)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x\\al(2,2),4))))＋(n＋1)2
＝eq \f(16,x1x2)＋(n＋1)2
＝－4＋(n＋1)2.
令eq \(DB,\s\up7(―→))·eq \(DB,\s\up7(―→))＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3.
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，－3)．
4．(2021·沈阳市教学质量监测)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(2,2)，点B在抛物线C上，且满足eq \(OF,\s\up7(―→))＝eq \(FB,\s\up7(―→))－2eq \(FA,\s\up7(―→)) (O为坐标原点)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过焦点F任作两条相互垂直的直线l与l′，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线l′与抛物线C交于M，N两点，△OPQ的面积记为S1，△OMN的面积记为S2，求证：eq \f(1,S\\al(2,1))＋eq \f(1,S\\al(2,2))为定值．
解：(1)由eq \(OF,\s\up7(―→))＝eq \(FB,\s\up7(―→))－2eq \(FA,\s\up7(―→))，得eq \(OF,\s\up7(―→))＋eq \(FA,\s\up7(―→))＝eq \(FB,\s\up7(―→))－eq \(FA,\s\up7(―→))，
即eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，
∴点A为OB的中点，又A(2,2)，∴B(4,4)，
又点B在抛物线C上，将其坐标代入y2＝2px，解得p＝2，
∴所求抛物线的方程为y2＝4x.
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则△OPQ的面积S1＝eq \f(1,2)·|OF|·|y1－y2|＝eq \f(1,2)|y1－y2|，
△OMN的面积S2＝eq \f(1,2)·|OF|·|y3－y4|＝eq \f(1,2)|y3－y4|.
依题意，设直线l：x＝my＋1(m≠0)，则l′：x＝－eq \f(1,m)y＋1.
将直线l与抛物线的方程联立，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,y2＝4x，))消去x，得y2－4my－4＝0，
∴Δ＝16(m2＋1)＞0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
∴|y1－y2|＝eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝4eq \r(m2＋1).
同理，可得|y3－y4|＝4 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)))2＋1)＝eq \f(4\r(m2＋1),|m|).
∴eq \f(1,S\\al(2,1))＋eq \f(1,S\\al(2,2))＝eq \f(1,4m2＋1)＋eq \f(m2,4m2＋1)＝eq \f(1,4)，为定值．