课时过关检测（五十七） 排列与组合

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1．从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )
A．6 B．8
C．12D．16
解析：选C 由于lg a－lg b＝lg eq \f(a,b)，从3,5,7,11中取出两个不同的数分别赋值给a和b共有Aeq \\al(2,4)＝12种，所以得到不同的值有12个．
2．某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A．3种B．6种
C．9种D．18种
解析：选C Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,3)＝2×3＋1×3＝9.
3．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )
A．16B．18
C．24D．32
解析：选C 将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有Aeq \\al(3,3)＝6(种)方法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．
4．旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )
A．24B．18
C．16D．10
解析：选D 分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有Aeq \\al(3,3)种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2)种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2)＝10.
5．(2021·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )
A．36种B．24种
C．22种D．20种
解析：选B 根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,2)＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法．
6．从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是( )
A．72B．70
C．66D．64
解析：选D 从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,7)＋Ceq \\al(1,7)·Ceq \\al(1,6)＝56种选法，三个数相邻共有Ceq \\al(1,8)＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法．
7．(2021·西安五校联考)十三届全国人大二次会议于2019年3月 5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A，B两代表团)安排至a，b，c 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A，B两代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为( )
A．6B．12
C．16D．18
解析：选B 如果仅有A，B两代表团入住a宾馆，则余下3个代表团必有2个人住同一个宾馆，此时不同的安排种数为Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝6.如果A，B两代表团及余下3个代表团中的1个入住a宾馆，则剩下2个代表团分别入住b，c宾馆，此时不同的安排种数为Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)＝6.综上，不同的安排种数为12，故选B.
8．(多选)(2021·麻城市高三联考)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是( )
A．若任意选择三门课程，选法总数为Aeq \\al(3,7)
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,5)
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为Ceq \\al(3,7)－Ceq \\al(1,5)
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,5)－Ceq \\al(1,5)
解析：选ABD 对于A，若任意选择三门课程，选法总数为Ceq \\al(3,7)，错误；对于B，若物理和化学选一门，有Ceq \\al(1,2)种方法，其余两门从剩余的5门中选，有Ceq \\al(2,5)种选法，选法为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,5)；若物理和化学选两门，有Ceq \\al(2,2)种选法，剩下一门从剩余的5门中选，有Ceq \\al(1,5)种选法，有Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,5)种，由分步乘法计数原理知，总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,5)，错误；对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为Ceq \\al(3,7)－Ceq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,5)＝Ceq \\al(3,7)－Ceq \\al(1,5)(种)，正确；对于D，有3种情况：①只选物理且物理和历史不同时选，有Ceq \\al(1,1)·Ceq \\al(2,4)种选法；②选化学，不选物理，有Ceq \\al(1,1)·Ceq \\al(2,5)种选法；③物理与化学都选，有Ceq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,4)种选法，故总数为Ceq \\al(1,1)·Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(1,1)·Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,4)＝6＋10＋4＝20(种)，错误．故选A、B、D.
9．(2020·全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
解析：由题意，分两步进行安排，第一步，将4名同学分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有Ceq \\al(2,4)＝6种安排方法；第二步，将分好的3组安排到对应的3个小区，有Aeq \\al(3,3)＝6种安排方法，所以不同的安排方法有6×6＝36(种)．
答案：36
10.(2021·郑州一中高三模拟)如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为顶点的三角形个数为________．
解析：用间接法．先从这8个点中任取3个点，最多构成三角形Ceq \\al(3,8)个，再减去三点共线的情形即可．共有Ceq \\al(3,8)－Ceq \\al(3,5)－Ceq \\al(3,4)＝42(个)．
答案：42
11．(2021·合肥第一次教学检测)“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有________种．
解析：先在4个视频中选择2个视频，有Ceq \\al(2,4)种方法，再按一定顺序排列有Aeq \\al(2,2)种方法，最后把2篇文章插入2个视频形成的3个空位中有Aeq \\al(2,3)种方法，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)＝72(种)．
答案：72
12．为迎接元旦的到来，某学校高中部决定举行歌唱比赛．已知高中三个年级各推选了2个班级，共6个班级进行比赛．现要求同一年级的2个班级的节目不连排，则节目编排的不同方法共有________种．
解析：不妨记高一、高二、高三每个年级推选的2个班级分别为A1，A2，B1，B2，C1，C2.可根据A1，A2之间的班级个数进行分类计论．
当A1，A2之间有1个班级时，不同的排法有Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(1,2)·(Aeq \\al(2,2)＋Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2))＝96(种)；
当A1，A2之间有2个班级时，不同的排法有Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2)·(Aeq \\al(2,2)＋Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2))＝96(种)；
当A1，A2之间有3个班级时，不同的排法有Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,4)·Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)＝32(种)；
当A1，A2之间有4个班级时，不同的排法有Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,2)＝16(种)．
综上，不同的排法共有96＋96＋32＋16＝240(种)，
答案：240
B级——综合应用
13．将标号分别为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1,2的小球放入同一盒子中，则不同的放法共有( )
A．12种B．16种
C．18种D．36种
解析：选C 先将标号为1,2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均放入剩下的2个盒子中，共有eq \f(C\\al(2,4)·C\\al(2,2),2！)·Aeq \\al(2,2)＝6(种)情况，所以不同的放法共有3×6＝18(种)．
14．(2021·四省八校第二次质量检测)某中学《同唱华夏情，共圆中国梦》文艺演出于2020年11月20日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目《文明之光》必须排在前三位，且节目《一带一路》《命运与共》必须排在一起，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有( )
A．120种B．156种
C．188种D．240种
解析：选A 将《一带一路》《命运与共》两个节目捆绑在一起有Aeq \\al(2,2)种编排方案，当《文明之光》排在第一位时，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)种编排方案．当《文明之光》排在第二位时，有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)种编排方案．当《文明之光》排在第三位时，若《一带一路》《命运与共》两个节目排在前二位，则有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)种编排方案；若《一带一路》《命运与共》两个节目不排在前二位，则有Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)种编排方案．所以编排方案共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)＋Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＋Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＋Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)＝48＋36＋12＋24＝120(种)．
15．(多选)有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是( )
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法
B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法
C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2 160种分法
解析：选ABC 对A，先从6本书中分给甲2本，有Ceq \\al(2,6)种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有Ceq \\al(2,4)种方法；最后的2本书给丙，有Ceq \\al(2,2)种方法．所以不同的分配方法有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)＝90种，故A正确；对B，先把6本书分成3堆：4本、1本、1本，有Ceq \\al(4,6)种方法；再分给甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有Ceq \\al(4,6)Aeq \\al(3,3)＝90种，故B正确；对C,6本不同的书先分给甲、乙每人各2本，有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)种方法；其余2本分给丙、丁，有Aeq \\al(2,2)种方法．所以不同的分配方法有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(2,2)＝180种，故C正确；对D，先把6本不同的书分成4堆：2本、2本、1本、1本，有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4),A\\al(2,2))·eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,1),A\\al(2,2))种方法；
再分给甲、乙、丙、丁四人， 所以不同的分配方法有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4),A\\al(2,2))·eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,1),A\\al(2,2))·Aeq \\al(4,4)＝1 080种，故D错误．
C级——迁移创新
16．定义“有增有减”数列{an}如下：存在t∈N*，满足atas＋1.已知“有增有减”数列{an}共四项，若ai∈{x，y，z}(i＝1,2,3,4)，且xA．64个B．57个
C．56个D．54个
解析：选D 当四项中只有两项相同时(如x，y，z，x)，共有Ceq \\al(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A\\al(4,4),A\\al(2,2))－2))＝30(个)；当四项中有三项相同时(如x，x，y，x)，共有Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)＝12(个)；当四项中两两相同时(如x，y，x，y)，共有Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A\\al(4,4),A\\al(2,2)A\\al(2,2))－2))＝12(个)．所以数列{an}共有30＋12＋12＝54(个)．故选D.