课时过关检测（五十四） 最值、范围问题

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(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，若椭圆 C的弦AB的中点在线段OM(不含端点O，M)上，求eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))的取值范围．
解：(1)由条件知eq \f(4,3a2)＋eq \f(1,3b2)＝1,2a＝2eq \r(2)，所以a＝eq \r(2)，b＝1，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))在线段OM上．
∵kOM＝eq \f(1,2)，∴x1＋x2＝2(y1＋y2)．
eq \f(x\\al(2,1),2)＋yeq \\al(2,1)＝1，eq \f(x\\al(2,2),2)＋yeq \\al(2,2)＝1，两式相减得eq \f(x1－x2x1＋x2,2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
易知x1－x2≠0，y1＋y2≠0，所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(x1＋x2,2y1＋y2)＝－1，即kAB＝－1.
设直线AB的方程为y＝－x＋m，代入eq \f(x2,2)＋y2＝1并整理得3x2－4mx＋2m2－2＝0.
由Δ＝8(3－m2)＞0得m2＜3.由根与系数的关系得x1＋x2＝eq \f(4m,3)，x1x2＝eq \f(2m2－1,3)，又eq \f(x1＋x2,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3)))，所以eq \f(2m,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3)))，所以0＜m＜eq \r(3).
eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(－x1＋m)(－x2＋m)＝2x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝eq \f(4m2－1,3)－eq \f(4m2,3)＋m2＝m2－eq \f(4,3)，
而0＜m＜eq \r(3)，所以eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(5,3))).
2．(2021·开封市第一次模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，动点Q满足：RQ⊥PF，PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹E的方程；
(2)若直线PF与曲线E交于A，B两点，过点F作直线PF的垂线与曲线E相交于C，D两点，求eq \(FA,\s\up7(―→))·eq \(FB,\s\up7(―→))＋eq \(FC,\s\up7(―→))·eq \(FD,\s\up7(―→))的最大值．
解：(1)由题意可知R是线段PF的中点，因为RQ⊥PF，所以RQ所在直线为线段PF的垂直平分线，
连接QF，所以|QP|＝|QF|，又PQ⊥l，所以点Q到点F的距离和到直线l的距离相等，
设Q(x，y)，则|x＋1|＝eq \r(x－12＋y2)，
化简得y2＝4x，
所以动点Q的轨迹E的方程为y2＝4x.
(2)由题可知直线PF的斜率存在且不为0，
设直线PF：y＝k(x－1)(k≠0)，则CD：y＝－eq \f(1,k)(x－1)，
联立方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,y2＝4x，))消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)，x1·x2＝1.
因为向量eq \(FA,\s\up7(―→))，eq \(FB,\s\up7(―→))方向相反，所以eq \(FA,\s\up7(―→))·eq \(FB,\s\up7(―→))＝－|eq \(FA,\s\up7(―→))||eq \(FB,\s\up7(―→))|＝－(x1＋1)(x2＋1)＝－(x1x2＋x1＋x2＋1)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,k2)＋4)).
同理，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，可得eq \(FC,\s\up7(―→))·eq \(FD,\s\up7(―→))＝－|eq \(FC,\s\up7(―→))|·|eq \(FD,\s\up7(―→))|＝－4k2－4，
所以eq \(FA,\s\up7(―→))·eq \(FB,\s\up7(―→))＋eq \(FC,\s\up7(―→))·eq \(FD,\s\up7(―→))＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋\f(1,k2)))－8，
因为k2＋eq \f(1,k2)≥2，当且仅当k2＝1，即k＝±1时取等号，
所以eq \(FA,\s\up7(―→))·eq \(FB,\s\up7(―→))＋eq \(FC,\s\up7(―→))·eq \(FD,\s\up7(―→))的最大值为－16.
3．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．
解：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①
(1)由x2＝2py得y′＝eq \f(x,p)，则A，B处的切线斜率的乘积为eq \f(x1x2,p2)＝－eq \f(2,p)，
∵点N在以AB为直径的圆上，
∴AN⊥BN，∴－eq \f(2,p)＝－1，∴p＝2.
(2)易得直线AN：y－y1＝eq \f(x1,p)(x－x1)，直线BN：y－y2＝eq \f(x2,p)(x－x2)，联立，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－y1＝\f(x1,p)x－x1，,y－y2＝\f(x2,p)x－x2，))结合①式，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝pk，,y＝－1，))即N(pk，－1)．
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x2－x1|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)·eq \r(4p2k2＋8p)，
点N到直线AB的距离d＝eq \f(|kxN＋1－yN|,\r(1＋k2))＝eq \f(|pk2＋2|,\r(1＋k2))，
则△ABN的面积S△ABN＝eq \f(1,2)·|AB|·d＝eq \r(ppk2＋23)≥2eq \r(2p)，当k＝0时，取等号，
∵△ABN的面积的最小值为4，
∴2eq \r(2p)＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.
4．(2021·山东济宁一模)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),3)，且椭圆C过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(2),2))).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且与圆O：x2＋y2＝2相交于E，F两点，求|AB|·|EF|2的取值范围．
解：(1)由题意得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)，所以a2＝eq \f(3,2)b2，
所以椭圆的方程为eq \f(x2,\f(3,2)b2)＋eq \f(y2,b2)＝1，
将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(2),2)))代入方程得b2＝2，即a2＝3，
所以椭圆C的标准方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)由(1)可知，椭圆的右焦点为(1,0)，
①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝1，
则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(2\r(3),3)))，E(1,1)，F(1，－1)，
所以|AB|＝eq \f(4\r(3),3)，|EF|2＝4，
|AB|·|EF|2＝eq \f(16\r(3),3).
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，,y＝kx－1，))
可得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，
则x1＋x2＝eq \f(6k2,2＋3k2)，x1x2＝eq \f(3k2－6,2＋3k2)，
所以|AB|＝eq \r(1＋k2x1－x22)＝
eq \r(1＋k2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6k2,2＋3k2)))2－4×\f(3k2－6,2＋3k2))))＝eq \f(4\r(3)k2＋1,2＋3k2).
因为圆心O(0,0)到直线l的距离d＝eq \f(|k|,\r(k2＋1))，
所以|EF|2＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(k2,k2＋1)))＝eq \f(4k2＋2,k2＋1)，
所以|AB|·|EF|2＝eq \f(4\r(3)k2＋1,2＋3k2)·eq \f(4k2＋2,k2＋1)
＝eq \f(16\r(3)k2＋2,2＋3k2)＝eq \f(16\r(3),3)·eq \f(k2＋2,k2＋\f(2,3))
＝eq \f(16\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\f(4,3),k2＋\f(2,3)))).
因为k2∈[0，＋∞)，
所以|AB|·|EF|2∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(16\r(3),3)，16\r(3))).
综上，|AB|·|EF|2的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(16\r(3),3)，16\r(3))).