作业14－三解函数大题（含答案解析）学案

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1．设f(x)＝cs2x＋sinxcsx＋1.
(1)求不等式f(x)≥eq \f(3,2)的解集；
(2)先将f(x)图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再向右平移eq \f(π,4)个单位长度；最后向下平移eq \f(3,2)个单位长度得到函数h(x)的图像．若不等式h2(x)＋eq \f(1,3)csx－m>0在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上恒成立，求实数m的取值范围．
解析 f(x)＝eq \f(cs2x＋1,2)＋eq \f(1,2)sin2x＋1＝eq \f(1,2)sin2x＋eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(3,2)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋eq \f(3,2).
(1)f(x)≥eq \f(3,2)即eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋eq \f(3,2)≥eq \f(3,2)⇔
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))≥0⇔2kπ≤2x＋eq \f(π,4)≤π＋2kπ(k∈Z)⇔
－eq \f(π,8)＋kπ≤x≤eq \f(3π,8)＋kπ(k∈Z)，
所以原不等式的解集为{xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(,,,))－eq \f(π,8)＋kπ≤x≤eq \f(3π,8)＋kπ，k∈Z}．
(2)将f(x)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋eq \f(3,2)图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得y＝eq \f(\r(2),2)sin(x＋eq \f(π,4))＋eq \f(3,2)的图像；再向右平移eq \f(π,4)个单位长度，得y＝eq \f(\r(2),2)sinx＋eq \f(3,2)的图像；最后向下平移eq \f(3,2)个单位长度得到函数h(x)＝eq \f(\r(2),2)sinx的图像，
所以h2(x)＋eq \f(1,3)csx＝eq \f(1,2)sin2x＋eq \f(1,3)csx＝－eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(1,3)csx＋eq \f(1,2).
设t＝csx，由x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))可得t∈(0，1)，
则原不等式等价于－eq \f(1,2)t2＋eq \f(1,3)t＋eq \f(1,2)>m在(0，1)上恒成立．
设g(t)＝－eq \f(1,2)t2＋eq \f(1,3)t＋eq \f(1,2)，t∈(0，1)，则g(t)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))单调递减，又g(0)＝eq \f(1,2)，g(1)＝eq \f(1,3)，所以g(t)>eq \f(1,3)，所以m≤eq \f(1,3).
2．已知向量a＝(csx，sinx)，b＝(csx＋2eq \r(3)sinx，－sinx)，函数f(x)＝a·b.
(1)若a∥b，且x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，求x的值；
(2)将函数f(x)的图像先向右平移eq \f(π,4)个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的eq \f(1,2)，得到函数g(x)的图像．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,24)))时，求g(x)的最大值和最小值，以及取最值时的x的值．
解析 (1)∵a∥b，
∴－sinxcsx＝sinx(csx＋2eq \r(3)sinx)＝sinxcsx＋2eq \r(3)sin2x，
∴2sinxcsx＋2eq \r(3)sin2x＝0.
∵x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，∴sinx≠0，csx≠0，
∴2csx＋2eq \r(3)sinx＝0，∴tanx＝－eq \f(\r(3),3)，
∵x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，∴x＝－eq \f(π,6).
(2)f(x)＝csx(csx＋2eq \r(3)sinx)－sin2x
＝cs2x＋2eq \r(3)sinxcsx
＝eq \r(3)sin2x＋cs2x
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，
则由题意得g(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3))).
∵eq \f(π,6)≤x≤eq \f(7π,24)，∴eq \f(π,3)≤4x－eq \f(π,3)≤eq \f(5π,6).
当4x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(5π,24)时，g(x)max＝2，
当4x－eq \f(π,3)＝eq \f(5π,6)，即x＝eq \f(7π,24)时，g(x)min＝1.
3．(2020·开封市高三模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知csB＝－eq \f(1,2)，________，△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求出对应三角形的三边；若不存在，说明理由．
从①a＋c＝2，②b＝eq \r(3)a这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
解析 若选①，由csB＝－eq \f(1,2)知B＝eq \f(2π,3)，sinB＝eq \f(\r(3),2)，△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(\r(3),4)ac≤eq \f(\r(3),4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋c,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(\r(3),4)，
当且仅当a＝c＝1时等号成立，△ABC的面积取得最大值eq \f(\r(3),4)，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accsB＝3，所以b＝eq \r(3).
若选②，由csB＝－eq \f(1,2)知B＝eq \f(2π,3)，sinB＝eq \f(\r(3),2)，
又eq \f(sinB,sinA)＝eq \f(b,a)＝eq \r(3)，所以sinA＝eq \f(1,2)，A＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(π,6)，
所以a＝c，
△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(\r(3),4)a2，因为a可以取任意正数，所以△ABC的面积不存在最大值．
4．(2020·聊城二模)在①m＝(a＋b，c－a)，n＝(a－b，c)，且m⊥n，②2a－c＝2bcsC，③sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6)))＝csB＋eq \f(1,2)
这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．
(1)求角B；
(2)若b＝4，求△ABC周长的最大值．
解析 (1)若选①，∵m＝(a＋b，c－a)，n＝(a－b，c)，且m⊥n，
∴(a＋b)(a－b)＋c(c－a)＝0.
化简得：a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理得csB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(ac,2ac)＝eq \f(1,2)，
又∵0