作业5－转化与化归思想（含答案解析）学案

这是一份作业5－转化与化归思想（含答案解析）学案，共12页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．命题“∀x∈[1，2]，ax2－x＋a>0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )
A．a≥eq \f(1,2) B．a>eq \f(1,2)
C．a≥1 D．a≥eq \f(2,5)
答案 C
解析 因为∀x∈[1，2]，ax2－x＋a>0等价于∀x∈[1，2]，a>eq \f(x,x2＋1)恒成立，设h(x)＝eq \f(x,x2＋1)，则h(x)＝eq \f(x,x2＋1)＝eq \f(1,x＋\f(1,x))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(1,2))).所以命题为真命题的充要条件为a>eq \f(1,2)，所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为a≥1.故选C.
2．(2020·兰州月考)为得到y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))的图像，只需要将y＝2cs3x函数的图像( )
A．向左平移eq \f(π,6)个单位长度 B．向右平移eq \f(π,6)个单位长度
C．向左平移eq \f(5π,18)个单位长度 D．向右平移eq \f(5π,18)个单位长度
答案 D
解析 由题可知，y＝2cs3x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,2)))的图像，
将其向右平移α个单位长度有y＝2sin[3(x－α)＋eq \f(π,2)]＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－3α＋\f(π,2)))，
欲得到y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))的图像，则－3α＋eq \f(π,2)＝－eq \f(π,3)⇒α＝eq \f(5π,18)
所以应向右平移eq \f(5π,18)个单位长度．故选D.
3．(2020·唐山市摸底考试)已知e1，e2是两个单位向量，λ∈R时，|e1＋λe2|的最小值为eq \f(\r(3),2)，则|e1＋e2|＝( )
A．1 B.eq \r(3)
C．1或eq \r(3) D．2
答案 C
解析 设向量e1，e2的夹角为θ，则|e1＋λe2|＝eq \r(1＋λ2＋2λcsθ)＝eq \r(（λ＋csθ）2＋1－cs2θ)，且当λ＝－csθ时，|e1＋λe2|min＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(\r(3),2)，得csθ＝±eq \f(1,2)，故|e1＋e2|＝eq \r(2＋2csθ)＝1或eq \r(3).故选C.
4．(2020·福建五校第二次联考)已知a＝lg3eq \f(7,2)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up6(\f(1,3))，c＝lgeq \s\d9(\f(1,3))eq \f(1,5)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>a>b
答案 D
解析 a＝lg3eq \f(7,2)，c＝lgeq \s\d9(\f(1,3))eq \f(1,5)＝lg35，由对数函数y＝lg3x在(0，＋∞)上单调递增，可得lg35>lg3eq \f(7,2)>lg33，所以c>a>1.借助指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x)在R上单调递减，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up6(\f(1,3))a>b.选D.
5．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0，2] B．[－2，0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案 D
解析 利用基本不等式转化为关于x＋y的不等式，求解不等式即可．
∵2x＋2y≥2eq \r(2x＋y)，2x＋2y＝1，∴2eq \r(2x＋y)≤1.
∴2x＋y≤eq \f(1,4)＝2－2，∴x＋y≤－2，当且仅当x＝y＝－1时取等号．
即x＋y∈(－∞，－2]．
6．(2020·福建省高三质量检测)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日转多七人．每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝．第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人．修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40 392升，问修筑堤坝多少天”．在这个问题中，第5天应发大米( )
A．894升 B．1 170升
C．1 275升 D．1 467升
答案 B
解析 由题意知，每天派出的人数构成首项为64，公差为7的等差数列，则第5天的总人数为5×64＋eq \f(5×4,2)×7＝390，所以第5天应发大米390×3＝1 170(升)．故选B.
7．(2019·太原五中阶段检测)正方形ABCD的四个顶点都在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3)－1,2)))
答案 A
解析 本题考查椭圆的几何性质．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))⇒x2＝eq \f(a2b2,a2＋b2)>c2，a2b2－b2c2＝b4>a2c2⇒a2－c2>ac⇒e2＋e－10，b>0)交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C．2 D.eq \r(5)
答案 D
分析 通过双曲线和圆的对称性，将△ABF的面积转化为△FBF′的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a与b的关系，从而推导出离心率．
解析 由题意可得图像如下图所示，F′为双曲线的左焦点，
∵AB为圆的直径，∴∠AFB＝90°，
根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF′为矩形．
∴S△ABF＝eq \f(1,2)SAFBF′＝S△FBF′.
又S△FBF′＝eq \f(b2,tan45°)＝b2＝4a2，可得c2＝5a2
∴e2＝5⇒e＝eq \r(5).故选D.
评说 本题考查双曲线离心率的求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于a，c的齐次方程，从而配凑出离心率的形式．
4．(2020·武汉中学质检)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．2eq \r(2)
C.eq \r(5) D．2
答案 A
解析 如图所示，建立平面直角坐标系．
设A(0，1)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，1)，P(x，y)，
易得圆的半径r＝eq \f(2,\r(5))，即圆C的方程是(x－2)2＋y2＝eq \f(4,5)，
eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y－1)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，－1)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(2，0)，若满足eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2μ，,y－1＝－λ，))μ＝eq \f(x,2)，λ＝1－y，所以λ＋μ＝eq \f(x,2)－y＋1，
设z＝eq \f(x,2)－y＋1，即eq \f(x,2)－y＋1－z＝0，点P(x，y)在圆(x－2)2＋y2＝eq \f(4,5)上，
所以圆心(2，0)到直线eq \f(x,2)－y＋1－z＝0的距离d≤r，即eq \f(|2－z|,\r(\f(1,4)＋1))≤eq \f(2,\r(5))，解得1≤z≤3，
所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3，故选A.
5．(2020·武汉中学质检)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．2eq \r(2)
C.eq \r(5) D．2
答案 A
解析 如图所示，建立平面直角坐标系．
设A(0，1)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，1)，P(x，y)，
易得圆的半径r＝eq \f(2,\r(5))，即圆C的方程是(x－2)2＋y2＝eq \f(4,5)，
eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y－1)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，－1)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(2，0)，若满足eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2μ，,y－1＝－λ，))μ＝eq \f(x,2)，λ＝1－y，所以λ＋μ＝eq \f(x,2)－y＋1，
设z＝eq \f(x,2)－y＋1，即eq \f(x,2)－y＋1－z＝0，点P(x，y)在圆(x－2)2＋y2＝eq \f(4,5)上，
所以圆心(2，0)到直线eq \f(x,2)－y＋1－z＝0的距离d≤r，即eq \f(|2－z|,\r(\f(1,4)＋1))≤eq \f(2,\r(5))，解得1≤z≤3，
所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3，故选A.
6．已知函数f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，则f(2 019)的值为________．
答案 －1
解析 因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4.所以f(2 019)＝f(4×504＋3)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－(21－1)＝－1.
7．(2019·唐山摸底考试)已知直线l：kx－y－k＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
答案 2eq \r(6)
解析 直线l的方程为y－2＝k(x－1)，经过定点P(1，2)，由已知可得圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝8，可知圆心C(0，1)，半径r＝2eq \r(2)，由圆的性质可知当直线l与CP垂直时弦长最小，因为|CP|＝eq \r(（1－0）2＋（2－1）2)＝eq \r(2)，故|AB|min＝2eq \r(（2\r(2)）2－（\r(2)）2)＝2eq \r(6).
8．已知A是抛物线y2＝－4x上的动点，点A在y轴的射影是点C，B是圆D：(x－3)2＋(y－2)2＝1上的动点，则|AB|＋|AC|的最小值是________．
答案 2eq \r(5)－2
解析 圆D：(x－3)2＋(y－2)2＝1的圆心为D(3，2), 半径r＝1.抛物线y2＝－4x的焦点坐标为F(－1，0)，准线方程为x＝1.如图，设点A在抛物线准线上的射影为点H，则|AB|＋|AC|＝|AB|＋|AH|－1.连接AF，由抛物线的定义可知|AH|＝|AF|，
∴|AB|＋|AC|＝|AB|＋|AF|－1.易知D，B，A，F四点共线时，|AB|＋|AF|取得最小值，连接DF，则(|AB|＋|AF|)min＝|DF|－r＝eq \r(（3＋1）2＋22)－1＝2eq \r(5)－1，∴(|AB|＋|AC|)min＝2eq \r(5)－2.
9．诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，可以形象地说明同一事物从不同角度看可能会有不同的认识，在数学的解题中，若能恰当地转换分析问题的角度，往往会有“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”的豁然开朗之感．关于数学问题“对任意a∈[－1，1]，求使不等式x2＋ax－2≤0成立的实数x的取值范围”，有一种参考答案如下：
令f(a)＝xa＋(x2－2)，
因为对任意a∈[－1，1]，不等式x2＋ax－2≤0恒成立，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（－1）＝x2－x－2≤0，,f（1）＝x2＋x－2≤0，))解得－1≤x≤1.
受上述参考答案的启发，可解得关于x的方程x3－ax2－x－(a2＋a)＝0(a