作业2－函数与方程思想（含答案解析）学案

这是一份作业2－函数与方程思想（含答案解析）学案，共8页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B．2
C.eq \r(7) D．3
答案 C
解析 设P(x，y)为直线y＝x＋1上任意一点，A为切点，则切线长|PA|＝eq \r(（x－3）2＋y2－1)＝eq \r(（x－3）2＋（x＋1）2－1)＝eq \r(2（x－1）2＋7)≥eq \r(7)，当且仅当x＝1时取等号．即切线长最小值为eq \r(7).
2．设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )
A．g(a)<0C．0答案 A
解析 首先确定a，b的取值范围，再根据函数的单调性求解．
∵f′(x)＝ex＋1>0，∴f(x)是增函数．
∵g(x)的定义域是(0，＋∞)，∴g′(x)＝eq \f(1,x)＋2x>0，
∴g(x)是(0，＋∞)上的增函数．
∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴0∵g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，∴10，g(a)<0.
3．(2020·沧州七校联考)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，2sin2α＝1－cs2α，则taneq \f(α,2)＝( )
A．－eq \f(\r(5)＋3,2) B.eq \f(\r(5)－3,2)
C.eq \f(1－\r(5),2) D．－eq \f(\r(5)＋1,2)
答案 D
解析 ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，∴eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))).
∵2sin2α＝1－cs2α，∴4sinαcsα＝2sin2α，
∴sinα＝0(舍去)或tanα＝2，又tanα＝eq \f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))，
解得taneq \f(α,2)＝eq \f(－1±\r(5),2).
再根据eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，∴taneq \f(α,2)<0.
故taneq \f(α,2)＝eq \f(－1－\r(5),2)＝－eq \f(1＋\r(5),2)，故选D.
4．(2020·湛江市第二十一中学月考)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝eq \f(1,8)，S3－a1＝eq \f(3,4)，则S4＝( )
A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,8)
C.eq \f(31,16) D.eq \f(15,8)
答案 D
解析 正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a4＝eq \f(1,8)，S3－a1＝eq \f(3,4)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1q3＝\f(1,8)，,\f(a1（1－q3）,1－q)－a1＝\f(3,4)，))q>0，且q≠1，
解得a1＝1，q＝eq \f(1,2)，
∴S4＝eq \f(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,24))),1－\f(1,2))＝eq \f(15,8).故选D.
5．定义在(0，＋∞)上的单调递减函数f(x)，若f(x)的导函数存在且满足eq \f(f（x）,f′（x）)>x，则下列不等式成立的是( )
A．3f(2)<2f(3) B．3f(4)<4f(3)
C．2f(3)<3f(4) D．f(2)<2f(1)
答案 A
解析 ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f′(x)<0.又∵eq \f(f（x）,f′（x）)>x，∴f(x)0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(3)>g(2)，即eq \f(f（3）,3)>eq \f(f（2）,2)，即3f(2)<2f(3)．A正确．
6．若f(x)＝x2－alnx在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．a<1 B．a≤1
C．a<2 D．a≤2
答案 D
解析 由f(x)＝x2－alnx，得f′(x)＝2x－eq \f(a,x).因为f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以2x－eq \f(a,x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤2x2在(1，＋∞)上恒成立．因为x∈(1，＋∞)时，2x2>2，所以a≤2.故选D.
7．方程m＋eq \r(1－x)＝x有解，则m的最大值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．－2
答案 A
解析 由原式得m＝x－eq \r(1－x)，设eq \r(1－x)＝t(t≥0)，
则m＝1－t2－t＝eq \f(5,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)，
∴m＝eq \f(5,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)在[0，＋∞)上是减函数．
∴t＝0时，m的最大值为1.
8. 矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y＝eq \f(2x,1＋x2)(x>0)的图像上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是( )
A．π B.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,2)
答案 A
解析 ∵y＝eq \f(2x,1＋x2)(x>0)，∴yx2－2x＋y＝0，将其视为关于x的一元二次方程，设x1，x2是其两根，则x1＋x2＝eq \f(2,y)，则x1·x2＝1.因此绕x轴旋转而成的几何体的体积V＝πy2|x1－x2|＝πy2·eq \f(\r(4－4y2),y)＝2πeq \r(\f(1,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y2－\f(1,2)))\s\up12(2))≤π，当且仅当y2＝eq \f(1,2)，即y＝eq \f(\r(2),2)时等号成立．故选A.
9．(2020·山东省实验中学高三预测卷)已知等边△ABC内接于圆Γ：x2＋y2＝1，且P是圆Γ上一点，则eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))的最大值是( )
A.eq \r(2) B．1
C.eq \r(3) D．2
答案 D
解析
建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设A(1，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，设P(csθ，sinθ)，则eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))＝(1－csθ，－sinθ)·(－1－2csθ，－2sinθ)＝(1－csθ)(－1－2csθ)＋2sin2θ＝2cs2θ－csθ－1＋2sin2θ＝1－csθ≤2，当且仅当θ＝π，即P(－1，0)时，取等号．
10．若(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0对x∈R均成立，则a2＋a4＝( )
A．40 B．60
C．80 D．－120
答案 D
解析 令x＝0，得a0＝－1，①
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，②
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－243，③
由①②③联立解得a2＋a4＝－120.
11．(2020·河北保定模拟)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)一条渐近线的倾斜角为eq \f(π,3)，离心率为e，则eq \f(a2＋e,b)的最小值为( )
A.eq \f(2\r(6),3) B.eq \f(\r(6),3)
C．2eq \r(6) D.eq \r(6)
答案 A
解析 由题意可得eq \f(b,a)＝eq \r(3)，∴b2＝3a2，∴e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝2，∴eq \f(a2＋e,b)＝eq \f(\f(b2,3)＋2,b)＝eq \f(b,3)＋eq \f(2,b)≥eq \f(2\r(6),3)(当且仅当eq \f(b,3)＝eq \f(2,b)，即b＝eq \r(6)时取等号)．故选A.
12．(2020·河南省南阳月考，理)已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切．若点P是圆B上的动点，则eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的最大值是( )
A．2eq \r(2) B．4eq \r(2)
C．4 D．8
答案 D
解析 如图，建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，2)，D(2，2)，
圆B的方程为：x2＋y2＝2，∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1( \r(2)csθ，\r(2)sinθ))，
∴eq \(DB,\s\up6(→))＝(－2，－2)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(eq \r(2)csθ，eq \r(2)sinθ－2)，
∴eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝－2eq \r(2)csθ－2eq \r(2)sinθ＋4＝4－4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－1时，eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的最大值是8，故选D.
二、多项选择题(在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求)
13．已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则( )
A．πe<3e B．3e－2π<3πe－2
C．lg3e>lgπe D．πlg3e>3lgπe
答案 CD
解析 函数y＝xe在(0，＋∞)上单调递增，所以πe>3e，故A错误；3e－2π<3πe－2，两边同时除以3π，可得3e－3<πe－3，由函数y＝xe－3在(0，＋∞)上单调递减，可得B错误；lg3e>lgπe⇔eq \f(1,ln3)>eq \f(1,lnπ)⇔lnπ>ln3，而函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，故此式成立．∴C正确；由πlg3e>3lgπe可得eq \f(π,ln3)>eq \f(3,lnπ)，所以πlnπ>3ln3，所以ππ>33，故D正确．
14．(2020·山东济宁模拟)函数f(x)图像上不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)处的切线的斜率分别是kA，kB，|AB|为A，B两点间距离，定义φ(A，B)＝eq \f(|kA－kB|,|AB|)为曲线f(x)在点A与点B之间的“曲率”，则下列命题中真命题是( )
A．存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数
B．函数f(x)＝x3－x2＋1图像上两点A与B的横坐标分别为1，2，则“曲率”φ(A，B)>eq \r(3)
C．函数f(x)＝ax2＋b(a>0，b∈R)图像上任意两点A，B之间的“曲率”φ(A，B)≤2a
D．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲线f(x)＝ex上不同两点，且x1－x2＝1，若t·φ(A，B)<1恒成立，则实数t的取值范围是(－∞，1)
答案 AC
解析 因当f(x)＝2x时，kA＝kB＝2，曲率为0，是常数，故A正确；又因当x1＝1，x2＝2时，A(1，1)，B(2，5)，kA＝3×12－2×1＝1，kB＝3×4－2×2＝8，故φ(A，B)＝eq \f(|kA－kB|,|AB|)＝eq \f(7,\r(17))三、填空题
15．(2020·拉萨市高三第二次模拟)已知向量a＝(1，m)，b＝(2，1)，且a⊥b，则m＝________．
答案 －2
解析 ∵a＝(1，m)，b＝(2，1)且a⊥b，则a·b＝2＋m＝0，解得m＝－2.
16．(2020·广州综合测试一)若函数f(x)＝ax－eq \f(3,x)的图像在点(1，f(1))处的切线过点(2，4)，则a＝________．
答案 2
解析 f′(x)＝a＋eq \f(3,x2)，f′(1)＝a＋3，f(1)＝a－3，故f(x)的图像在点(1，a－3)处的切线方程为y－(a－3)＝(a＋3)(x－1)．又切线过点(2，4)，所以4－(a－3)＝a＋3，解得a＝2.
17．已知函数f(x)＝e3x－1，g(x)＝eq \f(1,3)＋lnx，若f(m)＝g(n)，则n－m的最小值为________．
答案 eq \f(2＋ln3,3)
解析 令f(m)＝g(n)＝t，则m＝eq \f(1＋lnt,3)，n＝et－eq \f(1,3)，令h(t)＝n－m＝et－eq \f(1,3)－eq \f(1＋lnt,3)(t>0)，则h′(t)＝et－eq \f(1,3)－eq \f(1,3t)在(0，＋∞)上单调递增．∵h′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝0，∴当t>eq \f(1,3)时，h′(t)>0；当018．(2020·哈尔滨市第三中学第五次模拟)设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导数，当x>0时，f(x)＋f′(x)·xlnx<0，则不等式(x－1)f(x)>0的解集为________．
答案 (0，1)
解析 由于函数y＝f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0.
当x>0时，f(x)＋f′(x)·xlnx<0，则f(1)<0.
当x>0时，构造函数g(x)＝f(x)lnx，则g′(x)＝f′(x)lnx＋f(x)·eq \f(1,x)＝eq \f(f（x）＋f′（x）·xlnx,x)<0，
所以，函数y＝g(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，且g(1)＝0.
当0g(1)＝0，即f(x)lnx>0，此时f(x)<0；
当x>1时，lnx>0，g(x)又f(1)<0，所以，当x>0时，f(x)<0.
由于函数y＝f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)>0.
对于不等式(x－1)f(x)>0，当x<0时，x－1<0，则f(x)<0，不合乎题意；
当0当x>1时，x－1>0，则f(x)>0，不合乎题意．
综上所述，不等式(x－1)f(x)>0的解集为(0，1)．
19．(2020·湛江市第二十一中学月考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝absinC，acsB＋bsinA＝c，a＝eq \r(10)，则b＝________．
答案 3eq \r(2)
解析 ∵a2＋b2－c2＝absinC，即2abcsC＝absinC，∴tanC＝2，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(tanC＝\f(sinC,csC)＝2，,sin2C＋cs2C＝1，,sinC>0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sinC＝\f(2\r(5),5)，,csC＝\f(\r(5),5)，))
∵acsB＋bsinA＝c，由正弦定理得sinAcsB＋sinAsinB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcsB＋csAsinB，
∴sinAsinB＝csAsinB.
∵00，则tanA＝1，
∵0∴sinB＝sin(A＋C)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋C))＝eq \f(\r(2),2)(csC＋sinC)＝eq \f(3\r(10),10).
由正弦定理得eq \f(b,sinB)＝eq \f(a,sinA)，得b＝eq \f(asinB,sinA)＝eq \f(\r(10)×\f(3\r(10),10),\f(\r(2),2))＝3eq \r(2).
20.重差术是在勾股定理的基础上产生的，结合了相似三角形的比例不变关系．刘徽在《海岛算经》中利用重差术并结合实际情况，给出了三种应用方法：重表法、累矩法、连索法．对深度的测量可以用累矩法，他在书中给出公式：谷深＝eq \f(勾距×上股,股差)－勾．如图，已知BM是上股，ND是下股，若AB＝CD＝6，tanA＝eq \f(1,3)，tan(∠A＋∠NCD)＝1，BD＝13，则谷深DE＝________(股差＝下股－上股)．
答案 20
解析 由题意得，BM＝AB·tanA＝6×eq \f(1,3)＝2.因为tan(∠A＋∠NCD)＝1，所以eq \f(tanA＋tan∠NCD,1－tanAtan∠NCD)＝1，解得tan∠NCD＝eq \f(1,2)，所以ND＝CD·tan∠NCD＝6×eq \f(1,2)＝3，所以谷深DE＝eq \f(BD·BM,ND－BM)－AB＝eq \f(13×2,3－2)－6＝20.