高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.1 空间几何体与斜二测画法教学设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.1 空间几何体与斜二测画法教学设计，共5页。教案主要包含了教学目标，教学过程，教师小结等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】
1．了解空间几何体的概念．(重点)
2．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点)
3．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图．(重点)
4．逆用斜二测画法，找出直观图的原图．(难点)
【教学过程】
一、基础铺垫
空间几何体：生活中的物体都占据着空间的一部分.如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体。
二、新知探究
1．画平面图形的直观图
【例1】按图的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．
[思路探究] 按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图．
[解] 画法：
（1）在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
（2）在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
（3）在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝eq \f(1,2)OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝eq \f(1,2)GA，H′D′＝eq \f(1,2)HD．
（4）连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．
【教师小结】
（1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
（2）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
2．画空间几何体的直观图
【例2】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
[思路探究] eq \x(画轴)→eq \x(画底面)→eq \x(画顶点)→eq \x(成图)
[解] 画法：（1）画轴：
① ②
画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.
（2）画底面：
以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD．
（3）画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．
（4）成图：顺次连接PA．PB．PC．PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.
【教师小结】
（1）画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．
（2）直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”
3．直观图的还原和计算问题
[探究问题]
（1）如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？
[提示] 根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．
（2）若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？
[提示] 由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝10．
（3）若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？
[提示] 原三角形面积为S＝eq \f(1,2)a·h(a为三角形的底，h为三角形的高)，画直观图后，a′＝a，h′＝eq \f(1,2)h·sin 45°＝eq \f(\r(2),4)h，S′＝eq \f(1,2)a′·h′＝eq \f(1,2)a·eq \f(\r(2),4)h＝eq \f(\r(2),4)×eq \f(1,2)a·h＝eq \f(\r(2),4)S.
【例3】如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．
[思路探究] 由直观图还原平面图形的关键
（1）平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．
（2）对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．
[解] ①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；
③连接AB，BC，得△ABC．
则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．
如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形的形状是________．
菱形 [如图所示，在原图形OABC中，应有OABC，OD＝2O′D′＝2×2eq \r(2)＝4eq \r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，
∴OC＝eq \r(OD2＋CD2)＝eq \r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，
∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．]
【教师小结】
（1）由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．
（2）若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，则S′＝eq \f(\r(2),4)S.
三、课堂总结
1．直观图的概念
（1）定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．
（2）说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．
2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
（1）画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
（2）画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x′轴、y′轴的线段．
（3）取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
3．立体图形直观图的画法
画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′
垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．
四、课堂检测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．( )
（2）平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴．( )
（3）平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变．( )
（4）斜二测坐标系取的角可能是135°.( )
[答案] （1）√ （2）√ （3）× （4）√
[提示] 平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故（3）错误；由斜二测画法的基本要求可知（1）（2）（4）正确．
2．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( )
A．直角三角形的直观图仍是直角三角形
B．梯形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是菱形
D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
D [由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．]
3．如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
eq \f(\r(2),2) [画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为eq \f(\r(2),2).]
4．画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．
[解] （1）如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
（2）在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，
在y′轴上截取O′A′＝eq \f(1,2)AO＝eq \f(\r(3),4) cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．