高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.5 旋转体教案

旋转体

【教学目标】

1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义。

2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。

3．能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体。

【教学重难点】

1．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。

2．会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题。

【教学过程】

一、问题导入

从生活中的一些物体可以抽象出圆柱、圆锥、圆台，。观察它们的结构，总结出形成圆柱、圆锥、圆台的方式。

二、新知探究

1．旋转体的结构特征

【例1】判断下列各命题是否正确

（1）圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；

（2）一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；

（3）圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；

（4）到定点的距离等于定长的点的集合是球。

[解]（1）错。由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴。

（2）错。直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示。

（3）正确。

（4）错。应为球面。

【教师小结】

（1）圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求。

（2）只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误。

2．旋转体中的计算

[探究问题]

（1）圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？

[提示]  圆面。

（2）圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？

[提示]  分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形。

（3）经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？

[提示]  因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形。

（4）球的截面是什么？

[提示]  球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆。

（5）球的表面积公式是什么？

[提示] 

【例2】一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求圆台的高。

[思路探究]  作出圆台的轴截面，是一个等腰梯形。

[解]圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)。

由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm。

又由题意知，腰长为12 cm，

所以高AM＝

＝3(cm)。

【教师小结】与圆锥有关的截面问题的解决策略：

求解有关圆锥的基本量的问题时，一般先画出圆锥的轴截面，得到一等腰三角形，进而可得到直角三角形，将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解。通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时，都是通过取其轴截面，化归求解。巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决。

三、课堂总结

1．本节课的重点是了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征，难点是能根据结构特征识别和区分这些几何体。

2．本节课要重点掌握的规律方法：判断旋转体结构特征的方法及旋转体轴截面的应用。

3．本节课的易错点是对概念理解不到位而致错。

四、课堂检测

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

（1）矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆柱。              (    )

（2）以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台。 (    )

（3）用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台。 (    )

[答案]  （1）√  （2）×  （3）×

[提示]  （1）正确；（2）错误，应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；（3）错误，应是平面与圆锥底面平行。

2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是(    )

A．圆柱             B．圆锥

C．圆台 D．两个圆锥

D  [连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥。]

3．如图所示的几何体是由简单几何体________构成的。

[答案]  四棱台和球

4．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，求此圆柱的底面半径。

[解]  设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得

解得r＝。

所以此圆柱的底面半径为。