2021学年11.2 平面的基本事实与推论教学设计

平面的基本事实与推论

【教学目标】

1．通过平面概念及画法的学习，培养直观想象的数学核心素养。

2．借助平面基本事实及推论，培养逻辑推理的数学核心素养。

【教学重难点】

1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法。

2．掌握平面的基本事实及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系。

3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，并能解决空间线面的位置关系问题。

【教学过程】

一、直接导入

前面我们通过几何体的学习，已经直观地认识了点、线、面之间的位置关系，从本节开始，我们将在直观认识的基础上来论证它们之间的关系，以期进一步培养大家的空间想象能力与逻辑推理能力。

二、新知探究

1．文字语言、图形语言、符号语言的相互转化

【例】  根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：

（1）A∈α，B∉α；

（2）l⊂α，m⊄α，m∩α＝A，A∉l；

（3）P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α。

[解]  （1）点A在平面α内，点B不在平面α内。

（2）直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上。

（3）直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q。

图形分别如图（1），（2），（3）所示。

图（1）    图（2）      图（3）

【教师小结】

（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示。

（2）要注意符号语言的意义。如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示。

（2）由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别。

2．平面的基本事实及推论

推论1  经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图①)。

推论2  经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)。

推论3  经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)。

3．点、线共面问题

【例】  已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内。

[思路探究]  四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况。

[解]  已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面。

证明：（1）若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d，

∴经过d与点O有且只有一个平面α。

∵A、B、C分别是d与A、B、C的交点，

∴A、B、C三点在平面α内。

由公理1知A、B、C都在平面α内，

故A、B、C、D共面。

（2）若A、B、C、D无三线共点，如图所示，

∵a∩b＝A，

∴经过A、B有且仅有一个平面α，

∴B、C∈α。由公理1知c⊂α。

同理，d⊂α，从而有A、B、C、D共面。

综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内。

【教师小结】

证明点线共面常用的方法

（1）纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内。

（2）重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合。

三、课堂检测

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

（1）三点可以确定一个平面。 (    )

（2）一条直线和一个点可以确定一个平面。 (    )

（3）四边形是平面图形。 (    )

（4）两条相交直线可以确定一个平面。 (    )

[答案]  （1）×  （2）×  （3）×  （4）√

[提示]  （1）错误。不共线的三点可以确定一个平面。

（2）错误。一条直线和直线外一个点可以确定一个平面。

（3）错误。四边形不一定是平面图形。

（4）正确。两条相交直线可以确定一个平面。

2．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________。

C  [∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C．]

3．如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行。

求证：a，b，c三条直线必过同一点。

[证明]  ∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ。

由于直线a和b不平行，

∴A、B必相交。

设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈B．

∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α。

又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P。

∴a，b，c三条直线相交于同一点。