人教B版 (2019)11.3.3 平面与平面平行教案设计

平面与平面平行

【教学目标】

1．通过学习空间两平面的位置关系，培养直观想象的数学核心素养。

2．借助两平面平行的判定与性质的学习，提升逻辑推理、数学抽象的核心素养。

【教学重难点】

1．掌握空间两个平面的位置关系，并会判断。

2．掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题。

3．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用。

【教学过程】

一、问题导入

我们知道，如果平面α与平面β没有公共点，则α∥β。同直线与平面平行类似，用定义来判定平面与平面平行并不容易，那么平面与平面平行有什么更好的判定方法呢？

二、新知探究

1．平面与平面间的位置关系

【例1】  已知下列说法：

①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；

②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；

③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；

④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；

⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交。

其中正确的是________（将你认为正确的序号都填上)。

③④  [①错。a与b也可能异面；

②错。a与b也可能平行；

③对。∵α∥β，∴α与β无公共点。又∵a⊂α，b⊂β，

∴a与b无公共点；

④对。由已知及③知：a与b无公共点，

那么a∥b或a与b异面；

⑤错。a与β也可能平行。]

【教师小结】两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交。

2．平面与平面平行的判定

【例2】  如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1)B，C，H，G四点共面；

（2)平面EFA1∥平面BCHG。

[解]  （1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1．

又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，

所以B，C，H，G四点共面。

（2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC．

因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

所以EF∥平面BCHG。

因为A1G∥EB，A1G＝EB，

所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB．

因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

所以A1E∥平面BCHG。

因为A1E∩EF＝E，

所以平面EFA1∥平面BCHG。

【教师小结】判定面面平行的常用方法：

（1)定义法：两个平面没有公共点；

（2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；

（3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；

（4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。

3．面面平行的性质定理的应用

[探究问题]

（1）如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点。你能证明直线EG∥平面BDD1B1吗？

[提示]  如图，连接SB，

∵E，G分别是BC，SC的中点，

∴EG∥SB．

又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1．

∴直线EG∥平面BDD1B1．

（2）上述问题中，条件不变，请证明平面EFG∥平面BDD1B1．

[提示]  连接SD．∵F，G分别是DC，SC的中点，

∴FG∥SD．

又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，

∴FG∥平面BDD1B1．

又EG∥平面BDD1B1，

且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面BDD1B1．

【例3】  如图，已知平面α∥β，P∉α，且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝________。

[思路探究]  面面平行⇒线线平行⇒分线段比例相等。

  [因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，

因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD．所以＝，即＝。所以BD＝。]

【母题探究】

（1）将本例改为：若点P位于平面α，β之间（如图)，其他条件不变，试求BD的长。

[解]  与本例同理，可证AB∥CD．

所以＝，即＝，所以BD＝24．

（2）将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C与D，E，F。

已知AB＝6，＝，求AC．

[解]  由题图可知＝⇒AC＝·AB＝×6＝15．

【教师小结】应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

三、课堂总结

1．本节课的重点是空间两平面位置关系的判断和平面与平面平行的性质定理与判定定理，难点是平面平行的判定定理与性质定理的应用。

2．本节课要重点掌握的规律方法

（1)能够判断空间两个平面的位置关系。

（2)平面与平面平行的判定定理。

（3)平面与平面平行的性质定理。

3．本节课的易错点是应用平面与平面平行的判定定理与性质定理进行证明时条件应用不全面致误。

四、课堂检测

1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”)

（1）没有公共点的两平面平行。 （    ）

（2）若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行。 （    ）

（3）若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行。              （    ）

[答案]  （1）√  （2）×  （3）×

[提示]  （1）由平面与平面平行的定义知正确。

（2）若两个平面都平行于同一条直线，两平面可能平行，也可能相交，故错误。

（3）两平面可能相交。

2．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是（    ）

A．若α与β相交，a⊂α，b⊂β，则a与b一定相交

B．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β

C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β

D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

D  [A错误，a与b，可能平行也可能是异面直线；由平面与平面平行的判定定理知B、C错误；由平面与平面平行的性质定理知，D正确。]

3．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________。

CD∥α  [因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α。]

4．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD．E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD．

求证：平面PAB∥平面EFG。

[证明]  ∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，

又∵CD∥AB，

∴EF∥AB，又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴EF∥平面PAB，同理可证EG∥平面PAB．

又∵EF∩EG＝E，

∴平面PAB∥平面EFG。