高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.4.2 平面与平面垂直教案

平面与平面垂直

【教学目标】

1．通过平面与平面垂直的定义学习，培养直观想象的核心素养。

2．借助线面垂直的判定定理与性质定理，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养。

【教学重难点】

1．了解面面垂直的定义。

2．掌握面面垂直的判定定理和性质定理。

3．灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题。

【教学过程】

一、基础铺垫

二面角：

之前我们学习过直线与直线所成的夹角，那么平面与平面之间有夹角吗？如何来刻画这个夹角的大小呢？

一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面。

如图所示，在二面角α-1-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角。二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小。

特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角。

二、新知探究

1．平面与平面垂直的判定

【例1】  如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．

[证明]  连接AC，BC，

则BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，

∴BC⊥平面PAC，

又BC⊂平面PBC，

∴平面PAC⊥平面PBC．

【教师小结】证明面面垂直的方法：

（1）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；

（2）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面。

2．面面垂直性质定理的应用

【例2】  如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．

（1）若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；

（2）求证：AD⊥PB．

[思路探究]  （1）―→―→

（2）要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可。

[证明]  （1）如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，

∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，

且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD．

（2）如图，连接PG。

∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，

∴PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD．又∵PG∩BG＝G。

∴AD⊥平面PBG。

而PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB．

【教师小结】

（1）面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法。所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直。

（2）两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作（找）与交线垂直的直线。

3．垂直关系的综合应用

[探究问题]

（1）如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，你能证明PD⊥平面ABCD吗？

[提示]  ∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC．

同理可证PD⊥AD，

∵AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，且AD∩DC＝D，

∴PD⊥平面ABCD．

（2）如图所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PA⊥CD．

[提示]  连接CO（图略），由3AD＝DB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，

由AC＝BC知，∠CAB＝60°，

∴△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO。

∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，

∴PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，

由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，

又PA⊂平面PAB，∴PA⊥CD．

3．试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系。

[提示]  垂直问题转化关系如下所示：

【例3】  如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点。求证：

（1）EN∥平面PDC；

（2）BC⊥平面PEB；

（3）平面PBC⊥平面ADMN。

[思路探究]  （1）证明EN∥DM；

（2）由AD∥BC可证AD⊥平面PEB；

（3）利用（2）可证PB⊥平面ADMN。

[证明]  （1）∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，

∴AD∥平面PBC．

又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，

∴AD∥MN。

又∵BC∥AD，∴MN∥BC．

又∵N是PB的中点，∴点M为PC的中点。

∴MN∥BC且MN＝BC，

又∵E为AD的中点，∴MN∥DE，且MN＝DE。

∴四边形DENM为平行四边形。

∴EN∥DM，且EN⊄平面PDC，DM⊂平面PDC．

∴EN∥平面PDC．

（2）∵四边形ABCD是边长为2的菱形，

且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD．

又∵侧面PAD是正三角形，且E为AD中点，

∴PE⊥AD，BE∩PE＝E，∴AD⊥平面PBE。

又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB．

（3）由（2）知AD⊥平面PBE，

又PB⊂平面PBE，

∴AD⊥PB．

又∵PA＝AB，N为PB的中点，

∴AN⊥PB．

且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN。

又∵PB⊂平面PBC．

∴平面PBC⊥平面ADMN。

【教师小结】垂直关系的相互转化：

在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化。每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：

三、课堂小结

1．本节课的重点是掌握两个平面互相垂直的定义和画法，理解并掌握两个平面垂直的判定定理与性质定理，并能解决有关面面垂直的问题。难点是综合利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理解决关于垂直的问题。

2．本节课要重点掌握的规律方法

（1）利用线面垂直的性质证明平行问题。

（2）应用面面垂直的判定与性质证明垂直问题。

（3）掌握垂直关系的转化。

3．本节课的易错点是垂直关系转化中易出现转化混乱错误。

四、课堂检测

1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面。              （    ）

（2）如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面。              （    ）

（3）如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别垂直。              （    ）

[答案]  （1）√  （2）×  （3）×

[提示]  （1）正确。

（2）错误。必须要在其中一个平面内作直线才能成立。

（3）错误。可能平行，也可能相交或异面。

2．下列命题中错误的是（    ）

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

D  [如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的。]

3．下列四个命题中，正确的序号有________。

①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；

②α∥β，β∥γ，则α∥γ；

③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；

④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ。

①②  [③④不正确，如图所示，

α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直。]

4．（2019·全国卷Ⅲ）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°。将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．

图1            图2

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求图2中的四边形ACGD的面积。

[解]  （1）由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面。

由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE。

又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE。

（2）取CG的中点M，连接EM，DM。

因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，

所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG。

由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM。

因此DM⊥CG。

在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝，故DM＝2．

所以四边形ACGD的面积为4．