031圆周运动与平抛运动综合及其多解、极植问题 精讲精练-2022届高三物理一轮复习疑难突破微专题学案

一.专题特点

1.类型

圆周运动和平抛运动的综合问题，是高考的热点，也是高考的重点。此类综合问题主要分两类：水平面内的圆周运动与平抛运动的综合；.竖直面内圆周运动与平抛运动的综合。

2.多解性

圆周运动因其有周期性，所以会出现多解，学生容易忽视。

3.立体性

平抛运动与圆周运动综合，物理情境常涉及到三维空间，要训练学生把立体图转化为平面图的能力。

4.会应用数学解决问题

较复杂的题涉及到运动数学方法解决物理问题如利用二次函数求极值等。

二.典型例题精讲

题型一：水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题

1.此类问题有时是一个物体做水平面上的圆周运动，另一个物体做平抛运动，特定条件下相遇，有时是一个物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，有时还要结合能量关系分析求解，多以选择题或计算题考查。

2.解题关键

1明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。

2平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。

,3速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。

例1：如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O且水平向右为x轴正方向。在O点正上方距盘面高为h＝5 m处有一个可间断滴水的容器，从t＝0时刻开始，容器沿水平轨道向x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。已知t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面时再滴下一滴水。(取g＝10 m/s2)

(1)每一滴水离开容器后经过多长时间滴落到盘面上？

(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘的角速度ω应为多大？

(3)当圆盘的角速度为1.5π rad/s时，第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的距离为2 m，求容器的加速度a。

解析　(1)离开容器后，每一滴水在竖直方向上做自由落体运动，则每一滴水滴落到盘面上所用时间t＝ ＝1 s。

(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线，则圆盘在1 s内转过的弧度为kπ，k为正整数

由ωt＝kπ

得ω＝kπ rad/s，其中k＝1,2,3，…。

(3)第二滴水在盘上的落点与O点的水平距离为

x1＝at2＋(at)t＝at2

第三滴水在盘上的落点与O点的水平距离为

x2＝a(2t)2＋(a·2t)t＝4at2

又Δθ＝ωt＝1.5π

故第二滴水和第三滴水在盘上的落点与O点连线相互垂直，所以x＋x＝(2 m)2

即2＋(4at2)2＝(2 m)2

得a＝ m/s2。

答案　(1)1 s　(2)kπ rad/s(k＝1,2,3，…)

(3) m/s2

题型二：竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合问题

1.此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动，有时物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以计算题考查。

2.解题关键

1竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，然后分析物体能够到达圆周最高点的临界条件。

2速度也是联系前后两个过程的关键物理量。

例2：小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示，已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。

(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2；

(2)求绳能承受的最大拉力；

(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？

答案　(1)　　(2)mg　(3)　d

解析　(1)设绳断后球的飞行时间为t，由平抛运动规律，在竖直方向上有d＝gt2

在水平方向上有d＝v1t

解得v1＝

在竖直方向上有v＝2gd，

而v2＝

解得v2＝。

(2)设绳能承受的最大拉力大小为FT，这也是球受到绳的最大拉力大小，球做圆周运动的半径为R＝d

小球经过圆周运动轨迹最低点时，由牛顿第二定律得FT－mg＝m

解得FT＝mg。

(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变，由牛顿第二定律得FT－mg＝m

解得v3＝

绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－l，

设水平位移为x，做平抛运动的时间为t1，则

在竖直方向上有d－l＝gt

在水平方向上有x＝v3t1

解得x＝4

当l＝d－l时，即l＝时，x有最大值，xmax＝d。

三.举一反三，巩固练习

1.（2021浙江6月选考卷21，12分） 如图所示，水平地面上有一高的水平台面，台面上竖直放置倾角的粗糙直轨道、水平光滑直轨道、四分之一圆周光滑细圆管道和半圆形光滑轨道，它们平滑连接，其中管道的半径、圆心在点，轨道的半径、圆心在点，、D、和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道上距台面高为h的P点静止下滑，与静止在轨道上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道、轨道从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右，大小与碰前相同，最终落在地面上Q点，已知小滑块与轨道间的动摩擦因数，，。

（1）若小滑块的初始高度，求小滑块到达B点时速度的大小；

（2）若小球能完成整个运动过程，求h的最小值；

（3）若小球恰好能过最高点E，且三棱柱G的位置上下可调，求落地点Q与F点的水平距离x的最大值。

【答案】（1）4m/s；（2）；（3）0.8m

【解析】

（1）小滑块轨道上运动

代入数据解得

（2）小滑块与小球碰撞后动量守恒，机械能守恒，因此有

，

解得

小球沿轨道运动，在最高点可得

从C点到E点由机械能守恒可得

其中，解得

（3）设F点到G点的距离为y，小球从E点到Q点的运动，由动能定理

由平抛运动可得

，

联立可得水平距离为

由数学知识可得当

取最小，最小值为

2.如图所示，半径为R的圆管BCD竖直放置，一可视为质点的质量为m的小球以某一初速度从A点水平抛出，恰好从B点沿切线方向进入圆管，到达圆管最高点D后水平射出．已知小球在D点对管下壁压力大小为mg，且A、D两点在同一水平线上，BC弧对应的圆心角θ＝60°，不计空气阻力．重力加速度为g，求：

(1)小球在A点初速度的大小；

(2)小球在D点的角速度；

(3)小球在圆管内运动过程中克服阻力做的功．

答案　(1)　(2) 　(3)mgR

解析　(1)小球从A到B，竖直方向：v＝2gR(1＋cos 60°)

解得vy＝

在B点：v0＝＝.

(2)在D点，由向心力公式得mg－mg＝m

解得vD＝

故ω＝＝ .

(3)从A到D全过程由动能定理：－W克＝mv－mv

解得W克＝mgR.

3.  (多选)如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，则(　　)

A．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝d

B．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2d

C．圆筒转动的角速度可能为ω＝π

D．圆筒转动的角速度可能为ω＝3π

答案　ACD

解析　子弹在圆筒中运动的时间与自由下落h的时间相同，为t＝ ，则v0＝＝d ，故A正确，B错误；在此时间内圆筒只需转半圈的奇数倍，ωt＝(2n＋1)π(n＝0，1,2，…)，所以ω＝＝(2n＋1)π (n＝0，1,2，…)，故C、D正确。

4．(多选)如图所示，半径为r的光滑水平转盘到水平地面的高度为H，质量为m的小物块被一个电子锁定装置锁定在转盘边缘，转盘绕过转盘中心的竖直轴以ω＝kt(k＞0且是恒量)的角速度转动，从t＝0开始，在不同的时刻t将小物块解锁，小物块经过一段时间后落到地面上，假设在t时刻解锁的物块落到地面上时重力的瞬时功率为P，落地点到转盘中心的水平距离为d，则下图中P­t图像、d2 ­t2图像分别正确的是(　　)

答案　AC

解析　在时刻t将小物块解锁后物块做平抛运动，初速度为：v0＝rω＝rkt，小物块落地时竖直分速度为：vy＝，小物块落到地面上时重力的瞬时功率为：P＝mgvy＝mg，可知P与t无关，故A正确，B错误；小物块做平抛运动的时间为：t′＝，水平位移大小为：x＝v0t′＝rkt，根据几何知识可得落地点到转盘中心的水平距离的二次方为：d2＝r2＋x2＝r2＋2＝r2＋t2，故C正确，D错误。

5.(多选)“快乐向前冲”节目中有这样一种项目，选手需要借助悬挂在高处的绳飞跃到鸿沟对面的平台上，已知开始时绳与竖直方向夹角为α，绳的悬挂点O距平台的竖直高度为H，绳长为L。如果质量为m的选手抓住绳子由静止开始摆动，运动到O点的正下方时松手，做平抛运动，不考虑空气阻力和绳的质量，下列说法正确的是(　　)

A．选手刚摆到最低点时处于超重状态

B．选手刚摆到最低点时所受绳子的拉力为

(3－2cosα)·mg

C．若绳与竖直方向夹角仍为α，当L＝时，落点距起点的水平距离最远

D．若绳与竖直方向夹角仍为α，当L＝时，落点距起点的水平距离最远

解析　选手摆到最低点时加速度方向竖直向上，处于超重状态，A正确；选手摆到最低点时，T－mg＝m，质量为m的选手由静止开始，运动到O点正下方过程中机械能守恒，故mgL(1－cosα)＝mv2　①，联立解得T＝(3－2cosα)mg，B正确；从最低点松开绳子后，选手做平抛运动，故在水平方向上做匀速直线运动，x＝vt　②，在竖直方向上做匀加速直线运动，H－L＝gt2　③，联立①②③解得x＝，根据数学知识可知当L＝H－L，即L＝时，x最大，D错误，C正确。

答案　ABC

6.如图所示，BC为半径r＝0.4m竖直放置的用光滑细圆管制成的圆弧形轨道，O为轨道的圆心，在圆管的末端C连接倾斜角为45°、动摩擦因数μ＝0.6的足够长粗糙斜面，一质量为m＝0.5kg的小球从O点正上方某处A点以速度v0水平抛出，恰好能垂直OB从B点进入细圆管，小球从进入圆管开始受到始终竖直向上的力F＝5N的作用，当小球运动到圆管的末端C时作用力F立即消失，小球能平滑地冲上粗糙斜面。(g取10m/s2)求：

(1)小球从O点的正上方某处A点水平抛出的初速度v0为多少？OA的距离为多少？

(2)小球在圆管中运动时对圆管的压力是多少？

(3)小球在CD斜面上运动的最大位移是多少？

[答案]　(1)2m/s　0.6m　(2)5N　(3)m

[解析]　(1)小球从A运动到B为平抛运动，有rsin45°＝v0t，

在B点，有tan45°＝，解以上两式得v0＝2m/s，t＝0.2s，

则AB竖直方向的距离为h＝gt2＝0.2m，

OB竖直方向距离为h′＝rsin45°＝0.4m，

则OA＝h＋h′＝0.2m＋0.4m＝0.6m。

(2)在B点据平抛运动的速度规律有

vB＝＝2m/s，

小球在管中的受力为三个力：由于重力与外加的力F平衡，故小球所受的合力仅为管的外轨对它的压力，得小球在管中做匀速圆周运动，由圆周运动的规律得细管对小球的作用力为

FN＝＝5N，

根据牛顿第三定律得小球对细管的压力为5N。

(3)在CD上滑行到最高点的过程，根据牛顿第二定律得

mgsin45°＋μmgcos45°＝ma，

解得a＝gsin45°＋μgcos45°＝8m/s2

根据速度—位移关系公式，有x＝＝m。

7．如图所示，一水平光滑、距地面高为h、边长为a的正方形桌面MNPQ上，用长为L的不可伸长的轻绳连接质量分别为mA、mB的A、B两小球。两小球在绳子拉力的作用下，绕绳子上的某点O以不同的线速度做匀速圆周运动，圆心O与桌面中心重合。已知mA＝0.5kg，L＝1.2m，LOA＝0.8m，a＝2.1m，h＝1.25m，A球的速度大小vA＝0.4m/s，重力加速度g取10m/s2，求：

(1)绳子上的拉力F以及B球的质量mB。

(2)若当绳子与MN平行时突然断开，则经过1.5s两球的距离。

(3)两小球落至地面时，落点间的距离。

[答案]　(1)0.1N　1kg　(2)1.5m　(3)m

[解析]　(1)绳子上的拉力F＝mA＝0.1N

由F＝mALOAω2＝mBLOBω2得：mB＝mA＝1kg

(2)因为v＝ωr，所以vB＝0.2m/s。

经过1.5s两球垂直MN的距离

x＝(vA＋vB)t1＝0.6×1.5m＝0.9m

经过1.5s两球的距离

s＝＝1.5m

(3)小球从桌面落至地面的时间

t2＝＝0.5s

两小球落至地面时两球垂直MN的距离

x′＝(vA＋vB)t2＋a＝2.4m

两球落至地面时，落点间的距离

s′＝＝m。