高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识1 集合1.3 集合的基本运算第2课时课后复习题

第2课时　全集与补集

1.已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________.

2．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________.

3.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于(　　)

A．{x|－2<x≤1}  B．{x|x≤－4}

C．{x|x≤1}  D．{x|x≥1}

4．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2}，N＝{2,5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是(　　)

A．{3,4,5}  B．{1,3,4}

C．{1,2,5}  D．{3,4}

5．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁RA)∩B＝____________________.

6.已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<3}，

(1)若A∪(∁RB)＝R，求实数a的取值范围；

(2)若A(∁RB)，求实数a的取值范围．

1．设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则∁UM＝(　　)

A．{x|－2≤x≤2} 

B．{x|－2<x<2}

C．{x|x<－2或x>2} 

D．{x|x≤－2或x≥2}

2．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩(∁UA)＝(　　)

A．{1,6}  B．{1,7}

C．{6,7}  D．{1,6,7}

3．已知全集U＝{－1,1,3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁UA＝{－1}，则a的值是(　　)

A．－1  B．1

C．3    D．±1

4．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁UB)等于(　　)

A．{3}  B．{4}

C．{3,4}  D．∅

5．已知U为全集，集合M，N是U的子集．若M∩N＝N，则(　　)

A．(∁UM)⊇(∁UN) 

B．M⊆(∁UN)

C．(∁UM)⊆(∁UN) 

D．M⊇(∁UN)

6．(探究题)设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁UA)≠∅，则(　　)

A．k＜0或k＞3  B．2＜k＜3

C．0＜k＜3  D．－1＜k＜3

7．设U＝{x|－5≤x<－2或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁UA＝________，∁UB＝________.

8．设全集U＝{0,1,2,3}，集合A＝{x|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.

9．(易错题)设U为实数集，集合M＝{x|0<x<2}，N＝{y|y＝x2}，则(∁UM)∩N＝________.

10．设全集U＝R，集合M＝{x|3a－1<x<2a，a∈R}，N＝{x|－1<x<3}，若N⊆(∁UM)，求实数a的取值集合．

1．(多选题)已知集合A＝{x|－1<x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是(　　)

A．A∩B＝∅

B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}

C．A∪(∁RB)＝{x|x≤－1或x>2}

D．A∩(∁RB)＝{x|2<x≤3}

2．已知R为实数集，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(∁RA)＝R，B∩(∁RA)＝{x|0<x<1或2<x<3}，则集合B＝________.

3．(学科素养—逻辑推理)对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有

A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，

B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，

A×A＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，

B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}，

据此，试回答下列问题．

(1)已知C＝{a}，D＝{1,2,3}，求C×D；

(2)已知A×B＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A，B；

(3)A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素．

第2课时　全集与补集

必备知识基础练

1．解析：将集合U和集合A分别表示在数轴上，

如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3，或x＝5}．

答案：{x|x<－3，或x＝5}

2．解析：解法一　A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，

∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．

解法二　借助Venn图，如图所示．

由图可知B＝{2,3,5,7}．

答案：{2,3,5,7}

3．解析：∵S＝{x|x>－2}，∴∁RS＝{x|x≤－2}．

而T＝{x|－4≤x≤1}，∴(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．

答案：C

4．解析：由图可知，阴影部分表示的集合是∁U(M∪N)．

∵M∪N＝{1,2,5}，又U＝{1,2,3,4,5}，

∴∁U(M∪N)＝{3,4}．

答案：D

5．解析：由题意知，A∪B＝{x|2<x<10}，

∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．

又∁RA＝{x|x<3或x≥7}．

∴(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．

答案：{x|x≤2或x≥10}　{x|2<x<3或7≤x<10}

6．解析：(1)∵B＝{x|1<x<3}，

∴∁RB＝{x|x≤1或x≥3}，

因而要使A∪(∁RB)＝R，结合数轴分析(如图)，可得a≥3.

(2)∵A＝{x|x<a}，∁RB＝{x|x≤1或x≥3}．

要使A(∁BB)，结合数轴分析(如图)，可得a≤1.

关键能力综合练

1．解析：如图，在数轴上表示出集合M，可知∁UM＝{x|－2≤x≤2}．

答案：A

2．解析：依题意得∁UA＝{1,6,7}，所以B∩(∁UA)＝{6,7}．故选C.

答案：C

3．解析：由A∪(∁UA)＝U，可知A＝{1,3}．

又∵a2＋2≥2，∴a＋2＝1且a2＋2＝3.

解得a＝－1，故选A.

答案：A

4．解析：∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．∵B＝{1,2}，∴A＝{3}或{2,3}或{1,3}或{1,2,3}，且∁UB＝{3,4}，∴A∩(∁UB)＝{3}．

答案：A

5．解析：∵M∩N＝N，∴N⊆M，∴(∁UM)⊆(∁UN)．

答案：C

6．解析：∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁UA＝{x|1＜x＜3}，若B∩(∁UA)＝∅，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，所以若B∩(∁UA)≠∅，则0＜k＜3.

答案：C

7．解析：解法一　在集合U中，

∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，

∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．

又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，

∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．

解法二　可用Venn图表示．

则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．

答案：{－5，－4,3,4}　{－5，－4,5}

8．解析：∵U＝{0,1,2,3}，∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.

答案：－3

9．解析：N＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，∁UM＝{x|x≤0或x≥2}，则(∁UM)∩N＝{x|x≥2或x＝0}．

答案：{x|x≥2或x＝0}

10．解析：根据题意可知：N≠∅，又∵N⊆(∁UM)．

①当M＝∅，即3a－1≥2a时，a≥1.

此时∁UM＝R，N⊆(∁UM)显然成立．

②当M≠∅，即3a－1<2a时，a<1.

由M＝{x|3a－1<x<2a}，知∁UM＝{x|x≤3a－1或x≥2a}．

又∵N⊆(∁UM)，∴结合数轴分析可知或得a≤－.

综上可知，a的取值集合为a≥1或a≤－.

学科素养升级练

1．解析：∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，

∴A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，故A不正确；

A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故B正确；

∵∁RB＝{x|x<－2或x>2}，

∴A∪(∁RB)＝{x|－1<x≤3}∪{x|x<－2或x>2}＝{x|x<－2或x>－1}，故C不正确；

A∩(∁RB)＝{x|－1<x≤3}∩{x|x<－2或x>2}＝{x|2<x≤3}，故D正确．

∴正确的是BD.

答案：BD

2．解析：∵A＝{x|1≤x≤2}，

∴∁RA＝{x|x<1或x>2}．

又B∪(∁RA)＝R，A∪(∁RA)＝R，可得A⊆B.

而B∩(∁RA)＝{x|0<x<1或2<x<3}，

∴{x|0<x<1或2<x<3}⊆B.

借助于数轴可得B＝A∪{x|0<x<1或2<x<3}＝{x|0<x<3}．

答案：{x|0<x<3}

3．解析：(1)C×D＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}．

(2)∵A×B＝{(1,2)，(2,2)}，

∴A＝{1,2}，B＝{2}．

(3)从以上解题过程中可以看出，A×B中元素的个数，与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的每一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中的元素应为(m×n)个．因此若A中有3个元素，B中有4个元素，则A×B中有3×4＝12(个)元素．