数学3.2 基本不等式第1课时课时练习

第1课时　基本不等式

1.设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(　　)

A．a＜b＜＜

B．a＜＜＜b

C．a＜＜b＜

D.＜a＜＜b

2．给出下面三个推导过程：

①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2＝2；

②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4；

③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2＝－2.

其中正确的推导过程为(　　)

A．①②  B．②③

C．②  D．①③

3．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是(　　)

A．a2＋b2>2ab  B．a＋b≥2

C.＋>  D.＋≥2

4．不等式x2＋1≥2|x|(x∈R)中等号成立的条件是________.

5.已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋.

6．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.

1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　)

A．a＝±1  B．a＝1

C．a＝－1  D．a＝0

2．对x∈R且x≠0都成立的不等式是(　　)

A．x＋≥2  B．x＋≤－2

C.≥   D.≥2

3．若0<a<b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　)

A.  B．a2＋b2

C．2ab  D．a

4．已知a>0，b>0，求证：a＋b＋1≥＋＋.

5．已知0<a<1,0<b<1，且a≠b，下列各式中最大的是(　　)

A．a2＋b2  B．2

C．2ab  D．a＋b

6．(探究题)已知a>1，则，，三个数的大小顺序是(　　)

A.<<  B.<<

C.<<  D.<≤

7.＋≥2成立的条件是________．

8．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．

9．(易错题)给出下列结论：

①若a＞0，则a2＋1＞a；

②若a＞0，b＞0，则≥4；

③若a＞0，b＞0，则(a＋b)≥4；

④若a∈R且a≠0，则＋a≥6.

其中恒成立的是________．

10．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：＋＋>a＋b＋c.

1．(多选题)设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是(　　)

A．a2＋1＞a 

B．a2＋9＞6a

C．(a＋b)≥4 

D.≥4

2．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________(填序号)．

3．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证≥9.

3．2　基本不等式

第1课时　基本不等式

必备知识基础练

1．解析：解法一　∵0＜a＜b，∴a＜＜b，排除A，C.又－a＝(－)＞0，即＞a，排除D，故选B.

解法二　取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜b.故选B.

答案：B

2．解析：①因为a，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确；

②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件，

所以＋a≥ 2＝4是错误的；

③由xy<0得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确．故选D.

答案：D

3．解析：当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；ab>0只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2，即＋≥2恒成立，D正确．

答案：D

4．解析：x2＋1≥2|x|可化为|x|＋≥2，即|x|＋≥2，当且仅当|x|＝1，即x＝1时等号成立．

答案：x＝±1

5．证明：∵a>0，b>0，c>0，

∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.

∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，

即a＋b＋c≥＋＋.

由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．

∴a＋b＋c>＋＋.

6．证明：＋＋＝＋＋＝2，

∵a＋b＝1，a>0，b>0，

∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，

∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)．

关键能力综合练

1．解析：a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，

∴a＝1时，等号成立．

答案：B

2．解析：因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x＋≥2；当x<0时，－x>0，所以x＋＝－≤－2，所以A、B都错误；又因为x2＋1≥2|x|，所以≤，所以C错误，故选D.

答案：D

3．解析：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝.

∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，

∵0<a<b且a＋b＝1，∴a<，∴a2＋b2最大．

答案：B

4．证明：∵a>0，b>0，∴a＋b≥2，

a＋1≥2，b＋1≥2，

∴2(a＋b＋1)≥2＋2＋2，

∴a＋b＋1≥＋＋.

5．解析：因为0<a<1,0<b<1，所以a2<a，b2<b，

所以a2＋b2<a＋b，

又a2＋b2>2ab(因为a≠b)，

所以2ab<a2＋b2<a＋b.

又因为a＋b>2(因为a≠b)，

所以a＋b最大，故选D.

答案：D

6．解析：当a，b是正数时，≤≤≤ (a，b∈R＋)，令b＝1，得≤≤.又a>1，即a≠b，故上式不能取等号，选C.

答案：C

7．解析：只要与都为正，即a、b同号即可．

答案：a与b同号

8．解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，

∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，等号成立．

答案：≤

9．易错分析：易忽略不等式成立的前提是为正数而误认为④也正确．

解析：因为a>0，所以a2＋1≥2＝2a>a，故①恒成立．

因为a＞0，所以a＋≥2，

因为b＞0，所以b＋≥2，

所以当a＞0，b＞0时，≥4，故②恒成立．

因为a>0，b>0，所以＋≥2，

因为(a＋b)＝2＋＋，

所以(a＋b)≥4，故③恒成立．

因为a∈R且a≠0，＋a≥6不符合基本不等式的条件，故④错误．

答案：①②③

10．证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，

∴＋≥2 ＝2c，＋≥2 ＝2a，

＋≥2 ＝2b.

又a，b，c不全相等，

故上述等号至少有一个不成立．

∴＋＋＞a＋b＋c.

学科素养升级练

1．解析：设a＞0，b＞0，

a2＋1－a＝2＋＞0，A成立；

a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，B不成立；

(a＋b)≥(1＋1)2＝4，故C成立；

a＋≥2，b＋≥2，故D成立，故选：ACD.

答案：ACD

2．解析：因为ab≤2＝1，所以①正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故②不正确；a2＋b2≥＝2，所以③正确；＋＝＝≥2，所以④正确．

答案：①③④

3．证明：证法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，

所以1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，

故＝

＝5＋2≥5＋4＝9.

所以≥9(当且仅当a＝b＝时取等号)．

证法二：因为a，b为正数，a＋b＝1.

所以＝1＋＋＋

＝1＋＋＝1＋，

ab≤2＝，于是≥4，≥8，

因此≥1＋8＝9

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