高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 一元二次函数同步测试题

4．1　一元二次函数

1.一个二次函数图象的顶点坐标是(2,4)，且过另一点(0，－4)，则这个二次函数的解析式为(　　)

A．y＝－2(x＋2)2＋4  B．y＝－2(x－2)2＋4

C．y＝2(x＋2)2－4    D．y＝2(x－2)2－4

2．已知一元二次函数的图象过点(2，－1)，(－1，－1)，且函数值的最大值为8，求一元二次函数的解析式．

3.将抛物线y＝－3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是(　　)

A．y＝－3(x－1)2－2  B．y＝－3(x－1)2＋2

C．y＝－3(x＋1)2－2  D．y＝－3(x＋1)2＋2

4．将抛物线y＝－x2＋2x－1向右平移一个单位长度，向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是(　　)

A．y＝－x2＋2  B．y＝－x2＋4x－2

C．y＝－x2－2  D．y＝－x2＋4x－6

5.对于二次函数y＝ax2＋(1－2a)x(a>0)，下列说法错误的是(　　)

A．当a＝时，该二次函数图象的对称轴为y轴

B．当a>时，该二次函数图象的对称轴在y轴的右侧

C．该二次函数的图象的对称轴可为x＝1

D．当x>2时，y的值随x的值增大而增大

6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A(1,2)，B(3,2)，C(5,7)．若点M(－2，y1)，N(－1，y2)，K(8，y3)也在二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上，则下列结论正确的是(　　)

A．y1<y2<y3  B．y2<y1<y3

C．y3<y1<y2  D．y1<y3<y2

7．当a－1≤x≤a时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为(　　)

A．1       B．2

C．1或2   D．0或3

1．已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为(1，－3)，则抛物线对应的函数解析式为(　　)

A．y＝x2－2x＋2    B．y＝x2－2x－2

C．y＝－x2－2x＋1  D．y＝x2－2x＋1

2．函数y＝4－x(x－2)的图象的顶点坐标和对称轴方程分别是(　　)

A．(2,4)，x＝2  B．(1,5)，x＝1

C．(5,1)，x＝1  D．(1,5)，x＝5

3．把函数y＝2x2－4x－5的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得到的函数图象的解析式为(　　)

A．y＝2x2＋4x－8  B．y＝2x2－8x＋8

C．y＝2x2＋4x－2  D．y＝2x2－8x－2

4．函数y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上是y随x的增大而增大，则(　　)

A．b≥0  B．b≤0

C．b>0  D．b<0

5．抛物线y＝(x＋1)2＋1上有点A(x1，y1)、点B(x2，y2)，且x1<x2<－1，则y1与y2的大小关系是(　　)

A．y1<y2  B．y1>y2

C．y1＝y2  D．不能确定

6．(探究题)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c同时满足下列条件：图象的对称轴是x＝1，最值是15，图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15－a，则b的值是(　　)

A．4或－30  B．－30

C．4  D．6或－20

7．函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位长度，得到函数y＝x2－1的图象，则实数m＝________.

8．设函数f(x)＝4x2－(a＋1)x＋5在[－1，＋∞)上f(x)随x的增大而增大，在(－∞，－1]上f(x)随x的增大而减小，则f(－1)＝________.

9．(易错题)当x∈[－2,1]时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值3，则实数m的值为________．

10．已知二次函数y＝－x2－x＋.

(1)用配方法把这个二次函数的解析式化为y＝a(x＋m)2＋k的形式；

(2)写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；

(3)将二次函数y＝－x2的图象如何平移能得到二次函数y＝－x2－x＋的图象，请写出平移方法．

1．(多选题)关于二次函数y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2的说法正确的是(　　)

A．它们的图象都是开口向上

B．它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0,0)

C．当x>0时，它们的函数值y都是随x的增大而增大

D．它们的开口的大小是一样的．

2．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋1，当自变量x的值满足－3≤x≤－1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为________．

3．(学科素养—逻辑推理)已知抛物线y＝ax2＋6x－8与直线y＝－3x相交于点A(1，m)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)请问(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y＝ax2的图象．

§4　一元二次函数与一元二次不等式

4.1　一元二次函数

必备知识基础练

1．解析：设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋4，把(0，－4)代入得a(－2)2＋4＝－4，解得a＝－2，所以抛物线的解析式为y＝－2(x－2)2＋4，故选B.

答案：B

2．解析：设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意，得

解得

故所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.

3．解析：将抛物线y＝－3x2向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为y＝－3(x＋1)2，再向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为y＝－3(x＋1)2－2.故选C.

答案：C

4．解析：将抛物线y＝－(x－1)2向右平移一个单位长度所得抛物线的解析式为y＝－(x－1－1)2，再向上平移2个单位长度所得抛物线的解析式为y＝－(x－1－1)2＋2，即y＝－(x－2)2＋2，即y＝－x2＋4x－2.故选B.

答案：B

5．解析：该抛物线的对称轴为x＝－＝1－，A中，当a＝时，此时x＝0，即二次函数的图象对称轴为x＝0，即y轴，故正确；B中，当a>时，此时x＝1－>0，此时对称轴在y轴的右侧，故正确；C中，由于a>0，故对称轴不可能是x＝1，故错误；D中，由于1－<1，所以对称轴x<1，由于a>0，∴抛物线的开口向上，∴x>2时，y的值随x的值增大而增大，故正确，故选C.

答案：C

6．解析：把A(1,2)，B(3,2)，C(5,7)代入y＝ax2＋bx＋c得解得

∴函数解析式为y＝x2－x＋＝(x－2)2＋.∴当x>2时，y随x的增大而增大；当x<2时，y随x的增大而减小；根据对称性，K(8，y3)的对称点是(－4，y3)，所以y2<y1<y3.故选B.

答案：B

7．解析：当y＝1时，有x2－2x＋1＝1，解得x1＝0，x2＝2，∵当a－1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a－1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0.故选D.

答案：D

关键能力综合练

1．解析：因为抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为(1，－3)，所以y＝(x－1)2－3，即y＝x2－2x－2.故选B.

答案：B

2．解析：∵y＝4－x(x－2)＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，∴函数f(x)的图象的顶点坐标为(1,5)，对称轴方程为x＝1.

答案：B

3．解析：y＝2x2－4x－5＝2(x－1)2－7，将y＝2(x－1)2－7的图象向左平移2个单位长度得y＝2(x－1＋2)2－7，再向下平移3个单位长度得y＝2(x＋1)2－7－3，即y＝2x2＋4x－8.故选A.

答案：A

4．解析：函数y＝x2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－，∵函数y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上y随x的增大而增大，∴－∉(0，＋∞)．∴－≤0.∴b≥0.

答案：A

5．解析：∵抛物线y＝(x＋1)2＋1的开口向上，对称轴为直线x＝－1，而x1<x2<－1，∴y1>y2，故选B.

答案：B

6．解析：∵对称轴是x＝1，最值是15，∴可设y＝a(x－1)2＋15，∴y＝ax2－2ax＋15＋a，

设方程ax2－2ax＋15＋a＝0的两个根是x1，x2，则x1＋x2＝－＝2，x1x2＝，

∵二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15－a，则x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝15－a，

∴22－＝15－a，即a2－13a－30＝0，所以a1＝15(不符合题意，舍去)，a2＝－2，∴y＝－2(x－1)2＋15＝－2x2＋4x＋13，∴b＝4.故选C.

答案：C

7．解析：因为函数y＝x2－1的图象向上平移2个单位长度，得到函数y＝x2＋1的图象，所以m＝1.

答案：1

8．解析：由题意可得＝－1，解得a＝－9.∴f(x)＝4x2＋8x＋5.∴f(－1)＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1.

答案：1

9．易错分析：该题容易忽略x的范围，直接由m2＋1＝3，解得m＝－或m＝.

解析：二次函数的对称轴为x＝m，

①当m<－2时，x＝－2时二次函数有最大值，此时－(－2－m)2＋m2＋1＝3，解得m＝－，与m<－2矛盾，故m值不存在；

②当－2≤m≤1时，x＝m时二次函数有最大值，此时m2＋1＝3，解得m＝－或m＝(舍去)；

③当m>1时，x＝1时二次函数有最大值，此时－(1－m)2＋m2＋1＝3，解得m＝.

综上所述，m的值为或－.

答案：或－

10．解析：(1)y＝－x2－x＋＝－(x＋1)2＋4，即y＝－(x＋1)2＋4.

(2)因为a＝－<0，所以该抛物线的开口方向向下，由y＝－(x＋1)2＋4知，抛物线的顶点坐标是(－1,4)，对称轴为直线x＝－1.

(3)∵y＝－(x＋1)2＋4，∴将y＝－x2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可．

学科素养升级练

1．解析：∵a＝3>0，∴它们的图象都是开口向上，故A正确；∵y＝3x2＋1对称轴是y轴，顶点坐标是(0,1)，y＝3(x－1)2的对称轴是x＝1，顶点坐标是(1,0)，故B错误；∵二次函数y＝3x2＋1，当x>0时，y随着x的增大而增大；二次函数y＝3(x－1)2，当0<x<1时，y随着x的增大而减小，当x>1时，y随着x的增大而增大，故C错误；∵a＝3，∴它们的开口的大小是一样的，故D正确．故选A、D.

答案：AD

2．解析：由y＝x2－2mx＋m2＋1＝(x－m)2＋1(m为常数)知，其对称轴为x＝m.当m≤－3时，在－3≤x≤－1上，y随x的增大而增大．所以x＝－3时取得最小值y＝5，即(－3－m)2＋1＝5，所以m＝－5或－1(舍去)，当－3≤m≤－1时，函数值y的最小值为1，不符合题意．当m≥－1时，在－3≤x≤－1上，y随x的增大而减小，所以当x＝－1时取得最小值y＝5，即(－1－m)2＋1＝5，所以m＝1或－3(舍去)，综上所述，m的值为1或－5.

答案：1或－5

3．解析：(1)∵点A(1，m)在直线y＝－3x上，∴m＝－3×1＝－3.

把x＝1，y＝－3代入y＝ax2＋6x－8，

得a＋6－8＝－3，解得a＝－1，

∴抛物线的解析式是y＝－x2＋6x－8.

(2)∵y＝－x2＋6x－8＝－(x－3)2＋1，

∴该抛物线的顶点坐标为(3,1)．

因此，把抛物线y＝－x2＋6x－8向左平移3个单位长度得到y＝－x2＋1的图象，再把y＝－x2＋1的图象向下平移1个单位长度就可以得到y＝－x2的图象．