高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3 函数的单调性和最值第2课时课时练习

第2课时　函数的最值

1．函数f(x)的图象如图，则f(x)在[－2,2]上的最大、最小值分别为(　　)

A．f，f

B．f(0)，f

C．f(0)，f

D．f(0)，f(－1)

2．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别是________，________.

3．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________.

4.函数y＝x＋(　　)

A．有最小值，无最大值

B．有最大值，无最小值

C．有最小值，有最大值2

D．无最大值，也无最小值

5．求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值．

6.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．

7．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．

8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，求函数f(x)的最小值．

1．函数f(x)＝2－在区间[1,3]上的最大值是(　　)

A．2    B．3

C．－1  D．1

2．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是(　　)

A．10,5  B．10,1

C．5,1  D．以上都不对

3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　　)

A．2  B．－2

C．2或－2  D．0

4．已知函数y＝(k>0)在[4,6]上的最大值为1，则k的值是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

5．函数f(x)＝的最大值是(　　)

A.  B.

C.  D.

6．(易错题)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是 (　　)

A．(0,4]  B.

C.  D.

7．函数y＝－，x∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是________．

8．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a＜b＜3)上有最大值9，最小值－7，则a＝________，b＝________.

9．函数g(x)＝2x－的值域为________．

10．设函数f(x)＝x2－2x＋2(其中x∈[t，t＋1]，t∈R)的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．

1．(多选题)关于函数f(x)＝的结论正确的是(　　)

A．定义域、值域分别是[－1,3]，[0，＋∞)

B．单调增区间是(－∞，1]

C．定义域、值域分别是[－1,3]，[0,2]

D．单调增区间是[－1,1]

2．已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值情况是(　　)

A．最大值为3，最小值为－1

B．最小值为－1，无最大值

C．最大值为3，无最小值

D．既无最大值，又无最小值

3．(情境命题—生活情境)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．

(1)将利润表示为关于月产量的函数f(x)；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)

第2课时　函数的最值

必备知识基础练

1．解析：由最大(小)值的几何意义及定义可知f(0)为最大值，f为最小值．

答案：C

2．解析：作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.

答案：1　0

3．解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4,6)．

根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)＝所以函数f(x)的图象为图中的实线部分．观察图象知，点(4,6)即f(x)的图象的最高点，故f(x)的最大值为6.

答案：6

4．解析：设y1＝x，y2＝，则y＝y1＋y2，∵y1＝x在R上为增函数，y2＝在上为增函数，∴y＝x＋在上为增函数，∴y有最小值，无最大值．

答案：A

5．解析：任取2≤x1＜x2≤5，

则f(x1)＝，f(x2)＝，

f(x2)－f(x1)＝－＝.

因为2≤x1＜x2≤5，所以x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0.

所以f(x2)－f(x1)＜0.所以f(x2)＜f(x1)．

所以f(x)＝在区间[2,5]上是减函数．

所以f(x)max＝f(2)＝＝2，

f(x)min＝f(5)＝＝.

6．解析：函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数有最小值－2.

故当x＝0时，函数有最小值，

当x＝1时，函数有最大值．

∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，∴f(x)＝－x2＋4x－2，

∴当x＝1时，f(1)＝－12＋4×1－2＝1.

故f(x)的最大值为1.

答案：1

7．解析：如图可知f(x)在[1，a]内是单调递减的，

又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1<a≤3.

答案：(1,3]

8．解析：f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1,1]．

当a≥1时，函数f(x)的图象如图(1)中实线所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a；当－1<a<1时，函数f(x)的图象如图(2)中实线所示，函数f(x)在区间[－1，a)上单调递减，在区间(a,1]上单调递增，最小值为f(a)＝2－a2；

当a≤－1时，函数f(x)的图象如图(3)中实线所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a.

综上所述，f(x)min＝

关键能力综合练

1．解析：函数f(x)＝2－在[1,3]上单调递增，

∴f(x)的最大值为f(3)＝2－＝2－1＝1.

故选D.

答案：D

2．解析：因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.

答案：B

3．解析：由题意知a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.

答案：C

4．解析：因为当k>0时，函数y＝在[4,6]上单调递减，所以函数y＝(k>0)在[4,6]上的最大值为＝1，解得k＝2.

答案：B

5．解析：因为1－x(1－x)＝x2－x＋1＝2＋≥，所以≤.故f(x)的最大值为.

答案：C

6．解析：∵f(x)＝x2－3x－4＝2－，

∴f＝－，又f(0)＝－4，故由二次函数图象可知(如图)：m的值最小为，最大为3，即m的取值范围是，故选C.

答案：C

7．解析：因为函数y＝－在[－3，－1]上为增函数，所以最大值为1，最小值为，最大值与最小值的差为.

答案：

8．解析：y＝－(x－3)2＋18，∵a<b<3，

∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，

解得b＝0(b＝6不符合题意，舍去)．

－a2＋6a＋9＝－7，解得a＝－2(a＝8不符合题意，舍去)．

答案：－2　0

9．解析：设＝t(t≥0)，则x＋1＝t2，即x＝t2－1，

∴y＝2t2－t－2＝22－，t≥0，∴当t＝时，ymin＝－，∴函数g(x)的值域为.

答案：

10．解析：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，其对称轴为直线x＝1.

①当t＋1≤1，即t≤0时，由图(1)知，[t，t＋1]为函数的减区间，所以g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；

②当t≤1<t＋1，即0<t≤1时，由图(2)知，函数的最小值在顶点处取得，所以g(t)＝f(1)＝1；

③当t>1时，由图(3)知，[t，t＋1]为函数的增区间，所以g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.

综上，g(t)＝

学科素养升级练

1．解析：由－x2＋2x＋3≥0可得，x2－2x－3≤0，

解可得，－1≤x≤3，即函数的定义域[－1,3]，

由二次函数的性质可知，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4∈[0,4]，

∴函数的值域[0,2]，

结合二次函数的性质可知，函数在[－1,1]上单调递增．在[1,3]上单调递减．故选：CD.

答案：CD

2．解析：由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；

由f(x)<g(x)，得x<0，或x>3，

所以F(x)＝

作出函数F(x)的图象(图略)，可得F(x)无最大值，无最小值．

答案：D

3．解析：(1)月产量为x台，则总成本为(20 000＋100x)元，

从而f(x)＝

(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，

当x＝300时，f(x)max＝25 000；

当x>400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，f(x)<60 000－100×400＝20 000<25 000.

∴当x＝300时，f(x)max＝25 000.

即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25 000元．