高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性第2课时一课一练

第2课时　函数奇偶性的应用

1.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝－x＋1  B．f(x)＝－x－1

C．f(x)＝x＋1    D．f(x)＝x－1

2．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.

3.已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.

4．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.

5.已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则下列关系式中，正确的是(　　)

A．f(5)>f(－5) 

B．f(4)>f(3)

C．f(－2)>f(2) 

D．f(－8)＝f(8)

6．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围为(　　)

A.  B.

C.  D.

7．若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6，那么f(x)在区间[－5，－2]上有(　　)

A．最小值6    B．最小值－6

C．最大值－6  D．最大值6

8．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．

1．下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是(　　)

A．y＝x＋1  B．y＝－x3

C．y＝－  D．y＝x|x|

2．对于定义域为R的奇函数f(x)，下列结论成立的是(　　)

A．f(x)－f(－x)＞0  B．f(x)－f(－x)≤0

C．f(x)·f(－x)≤0    D．f(x)·f(－x)＞0

3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式是(　　)

A．y＝x(x－2)   B．y＝x(|x|＋2)

C．y＝|x|(x－2)  D．y＝x(|x|－2)

4．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)

A．(－∞，0]     B．[0，＋∞)

C．(－∞，＋∞)  D．[1，＋∞)

5．f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2－a)＋f(4－a)<0，则a的取值范围是(　　)

A．a<1  B．a<3

C．a>1  D．a>3

6．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是(　　)

A．f(－π)＞f(3)＞f(－2) 

B．f(－π)＞f(－2)＞f(3)

C．f(3)＞f(－2)＞f(－π) 

D．f(3)＞f(－π)＞f(－2)

7．已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x－1，则函数f(x)的解析式为________．

8.如果定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)在(0，＋∞)内是减函数，又有f(3)＝0，则x·f(x)<0的解集为________．

9．(探究题)已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝－，则函数f(x)的解析式f(x)＝________.

10．(易错题)已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围．

1．(多选题)已知函数f(x)＝x2－2x－3，则下列结论正确的是(　　)

A．函数f(x)的最小值为－4

B．函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增

C．函数f(|x|)为偶函数

D．若方程f(|x－1|)＝a在R上有4个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝4

2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x＝________时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)<f(m)成立，则m的取值范围是________．

3．(学科素养－数学抽象)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.

(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；

(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．

第2课时　函数奇偶性的应用

必备知识基础练

1．解析：设x<0，则－x>0.

∴f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数．

∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，

∴f(x)＝－x－1(x<0)．

答案：B

2．解析：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，

又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.

答案：－x＋1

3．解析：g(2)＋g(－2)＝2×9，则g(2)＝15，于是f(2)＝6.

答案：6

4．解析：f(x)＝＝＝＋1，其中g(x)＝为奇函数，根据其图象的对称性，函数f(x)最大值与最小值的和M＋m＝2×1＝2.

答案：2

5．解析：∵f(x)为奇函数，且在[0，＋∞)上是减函数，

∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，又－2<2，∴f(－2)>f(2)，故选C.

答案：C

6．解析：由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)<f，即－<2x－1<，解得<x<.

答案：A

7．解析：因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6，所以可设a∈[2,5]，有f(a)＝6.由奇函数的性质，f(x)在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f(－a)＝－f(a)＝－6.

答案：C

8．解析：∵f(2)＝0，f(x－1)＞0，∴f(x－1)＞f(2)．

又∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，

∴f(|x－1|)＞f(2)，

∴|x－1|＜2，∴－2＜x－1＜2，∴－1＜x＜3，

∴x∈(－1,3)．

答案：(－1,3)

关键能力综合练

1．解析：A中函数不具有奇偶性；B中函数在定义域内为减函数；C中函数在定义域内不具有单调性．故选D.

答案：D

2．解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－f2(x)≤0.

答案：C

3．解析：由x≥0时，f(x)＝x2－2x，

f(x)是定义在R上的奇函数得，

当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)．

∴f(x)＝即f(x)＝x(|x|－2)．

答案：D

4．解析：因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．

答案：A

5．解析：∵f(x)在R上为奇函数，

∴f(2－a)＋f(4－a)<0转化为f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)．

又f(x)在R上单调递减，

∴2－a>a－4，得a<3.

答案：B

6．解析：∵f(x)是R上的偶函数，

∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，

又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2＜3＜π，

∴f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(－π)＞f(3)＞f(－2)．

答案：A

7．解析：当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋2x－1.

∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)＝－x2－2x＋1，

∵f(x)(x∈R)是奇函数，∴f(0)＝0.

∴所求函数的解析式为f(x)＝

答案：f(x)＝

8.

解析：由题意可画出函数f(x)的草图．当x>0时，f(x)<0，所以x>3；当x<0时，f(x)>0，所以x<－3.综上x>3或x<－3.

答案：{x|x<－3或x>3}

9．解析：f(x)的定义域为∪，若f(x)是奇函数，则＝0，得q＝0.故f(x)＝，又f(2)＝－，得＝－，得p＝2，因此f(x)＝＝－.

答案：－

10．解析：由f(1－a2)＋f(1－a)<0，

得f(1－a2)<－f(1－a)．

∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，

∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)<f(a－1)．

又f(x)在[－1,1]上单调递减，

∴解得

∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0,1)．

学科素养升级练

1．解析：二次函数f(x)在对称轴x＝1处取得最小值，且最小值f(1)＝－4，故选项A正确；二次函数f(x)的对称轴为x＝1，其在(0，＋∞)上有增有减，故选项B错误；由f(x)得，f(|x|)＝|x|2－2|x|－3，显然f(|x|)为偶函数，故选项C正确；令h(x)＝f(|x－1|)＝|x－1|2－2|x－1|－3，方程f(|x－1|)＝a的零点转化为y＝h(x)与y＝a 的交点，作出h(x)图象如下图所示：图象关于x＝1对称，当y＝h(x)与y＝a有四个交点时，两两分别关于x＝1对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4，故选项D正确．故选ACD.

答案：ACD

2．解析：由f(1－x)＝f(1＋x)知，f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时f(x)取到最大值．由对称性可知f(0)＝f(2)，所以f(0)<f(m)，得0<m<2，即m的取值范围为(0,2)．

答案：1　(0,2)

3．解析：(1)因为a>b，所以a－b>0，

由题意得>0，

所以f(a)＋f(－b)>0.

又f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(－b)＝－f(b)，

所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．

(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，

因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，

即f(1＋m)≥f(2m－3)，

所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.

所以实数m的取值范围为(－∞，4]．