高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.2 简单幂函数的图像和性质同步训练题

4.2　简单幂函数的图象和性质

1.下列函数为幂函数的是(　　)

①y＝－x2；②y＝2x；③y＝xn(n为常数)；④y＝(x－1)3；⑤y＝；⑥y＝x2＋.

A．①③⑤   B．①②⑤

C．③⑤     D．只有⑤

2．已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于(　　)

A．2  B．1

C.  D．0

3．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)x的图象不过原点，则m的取值范围为(　　)

A．－1≤m≤2  B．m＝－1或m＝2

C．m＝1       D．m＝1或m＝2

4．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象，已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为(　　)

A．－2，－，，2  B．2，，－，－2

C．－，－2,2，    D．2，，－2，－

5．如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)

A．－1<n<0<m<1

B．n<－1,0<m<1

C．－1<n<0，m>1

D．n<－1，m>1

6．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　)

7.函数y＝x－2在区间上的最大值是(　　)

A.   B.

C．4  D．－4

8．幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是________．

9．比较下列各题中两个值的大小：

(1)2.3，2.4；

(2)()，()；

(3)(－0.31)，0.35.

1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(　　)

A．y＝x  B．y＝x

C．y＝x  D．y＝x

2．设a＝，b＝，c＝2，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c  B．c>a>b

C．a<b<c  D．b>c>a

3．函数y＝x的图象大致是图中的(　　)

4．下列结论中，正确的是(　　)

A．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)

B．幂函数的图象可以出现在第四象限

C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数

D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数

5．(易错题)已知y＝(m2－3m－3)x是幂函数，则m的值为(　　)

A．4         B．－1

C．－1或4  D．3

6．已知幂函数f(x)＝xn的图象过点，且f(a＋1)<f(2)，则a的取值范围是(　　)

A．(－3,1)    B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

C．(－∞，1)  D．(1，＋∞)

7．已知幂函数f(x)＝x (m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的解析式为________．

8．已知幂函数f(x)的图象过点(9,3)，则f＝______，函数f的定义域为________．

9．(探究题)已知函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．

10．已知幂函数y＝f(x)＝x，其中m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，满足：

①是区间(0，＋∞)上的增函数；

②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.

求同时满足①，②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．

1．(多选题)下面关于幂函数的性质，描述错误的是(　　)

A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线

B．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点

C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大

D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限

2．若(a＋1) <(3－2a) ，则实数a的取值范围是________．

3．(学科素养—逻辑推理)已知幂函数y＝f(x)＝x (m∈N*)．

(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．

4．2　简单幂函数的图象和性质

必备知识基础练

1．解析：①y＝－x2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y＝2x是指数函数；④y＝(x－1)3的底数是 x－1 而不是x，故不是幂函数；⑥y＝x2＋是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显③⑤是幂函数．

答案：C

2．解析：因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，

所以a＝1，－b＋1＝0，

即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.

答案：A

3．解析：依幂函数为y＝xα的形式知m2－3m＋3＝1.

又其图象不过原点，则指数m2－m－2≤0.

由可得得

故m＝1或m＝2.

答案：D

4．解析：令x＝2，则22>2>2>2－2，故相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为2，，－，－2.故选B.

答案：B

5．解析：在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m<1，n<－1.

答案：B

6．解析：选项A中，幂函数的指数a<0，则直线y＝ax－应为减函数，A错误；选项B中，幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数a<0，则－>0，直线y＝ax－在y轴上的截距为正，D错误．

答案：C

7．解析：易知y＝x－2在上单调递减，所以当x＝时，函数y＝x－2的最大值是－2＝4.

答案：C

8．解析：设f(x)＝xα，由2α＝，得α＝－2，即f(x)＝x－2，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)．

答案：(－∞，0)

9．解析：(1)∵y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，

∴2.3<2.4.

(2)∵y＝x为(0，＋∞)上的减函数，且<，

∴()>().

(3)∵y＝x为R上的偶函数，∴(－0.31) ＝0.31.

又函数y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，

∴0.31<0.35，即(－0.31) <0.35.

关键能力综合练

1．解析：y＝x＝，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．

答案：D

2．解析：构造幂函数y＝x，x>0，由该函数在定义域内单调递增，知1>a>b；又c＝2>1，知a<c.故c>a>b.

答案：B

3．解析：∵函数y＝x是奇函数，且α＝>1，∴函数在R上单调递增．故选B.

答案：B

4．解析：当α＝－1时，幂函数不过原点，A错误；幂函数的图象不可能出现在第四象限，B错误；y＝x－1在(－∞，0)，(0，＋∞)上递减，在其整个定义域上不具有单调性，D错误，所以选C.

答案：C

5．易错分析：本题往往忽视条件m－1对m的要求而错选C.

解析：由m2－3m－3＝1得m＝4或m＝－1.

又∵m－1为幂指数，要使式子m－1有意义需m≥0，∴m＝4.

答案：A

6．解析：因为幂函数f(x)＝xn的图象过点，所以2n＝，即2n＝2－2，解得n＝－2.因此f(x)＝x－2是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．由f(a＋1)<f(2)，得a＋1<－2或a＋1>2，解得a<－3或a>1.故选B.

答案：B

7．解析：因为幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，所以－m2＋2m＋3为偶数．又f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，所以－m2＋2m＋3＞0，所以－1＜m＜3.又m∈Z，－m2＋2m＋3为偶数，所以m＝1，故所求解析式为f(x)＝x4.

答案：f(x)＝x4

8．解析：令f(x)＝xα，∵f(9)＝3，即9α＝3，∴α＝，

故f(x)＝x＝，∴f＝.

令－1≥0解得0<x≤1，

故f的定义域为(0,1]．

答案：　(0,1]

9．解析：若a－3>1，则a<－2.若a>1，则a>1，所以a<－2或a>1.

答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞)

10．解析：因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，

所以m＝－1,0,1.

因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，

即f(－x)＝－f(x)，

所以f(x)是奇函数．

当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件①而不满足条件②；

当m＝1时，f(x)＝x0条件①、②都不满足．

当m＝0时，f(x)＝x3条件①、②都满足，且在区间[0,3]上是增函数．

所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．

学科素养升级练

1．解析：当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故A不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故B不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确．D正确．故选A、B、C.

答案：ABC

2．解析：∵(a＋1)－<(3－2a)－，

∴或或

解得<a<或a<－1.

故实数a的取值范围为∪(－∞，－1)．

答案：∪(－∞，－1)

3．解析：(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，

∴m与m＋1中必定有一个为偶数，

∴m2＋m为偶数，

∴函数f(x)＝x (m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，

并且函数y＝f(x)在其定义域上为增函数．

(2)∵函数f(x)经过点(2，)，

∴＝2，即2＝2，

∴m2＋m＝2，即m2＋m－2＝0.

∴m＝1或m＝－2.

又∵m∈N*，∴m＝1.

∴f(x)＝x在[0，＋∞)上是增函数．

由f(2－a)>f(a－1)，得

解得1≤a<.

故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为.