2021学年第三章 指数运算与指数函数3 指数函数3.1 指数函数的概念第1课时同步训练题
展开1.下列各函数中,是指数函数的为( )
A.y=x3 B.y=(-4)x
C.y=5x+1 D.y=52x
2.若函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数,则a的取值范围是( )
A.(0,1)∪(1,+∞) B.[0,1)∪(1,+∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1))∪(1,+∞) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),+∞))
3.若函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,则a的值为________.
4.若函数f(x)是指数函数,且f(2)=9,则f(-2)=________,f(1)=________.
5.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.00
D.06.函数y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的图象过定点________.
7.若π2m-1>π3-m,则实数m的取值范围是( )
A.(4,+∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3),+∞))
C.(-∞,4) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(4,3)))
8.比较下列各组数的大小:
(1)0.7-0.3与0.7-0.4;
(2)2.51.4与1.21.4;
(3)1.90.4与
1.若函数f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a-3))·ax是指数函数,则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值为( )
A.2 B.2eq \r(2)
C.-2eq \r(2) D.-2
2.已知集合M={-1,1},N={x|eq \f(1,2)<2x+1<4,x∈Z},则M∩N=( )
A.{-1,1} B.{-1}
C.{0} D.{-1,0}
3.已知a=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))),b=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))),c=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))),则a,b,c的大小关系是( )
A.cC.b4.若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有( )
A.00 B.a>1,且b>0
C.01,且b<0
5.已知函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x-7,x<0,,\r(x),x≥0,))若f(a)<1,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3) B.(1,+∞)
C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
6.(探究题)二次函数y=ax2+bx与指数函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x的图象可能为( )
7.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),f(2)=4,则函数f(x)的解析式为________.
8.当a>0,且a≠1时,函数f(x)=a2x+1-1的图象一定过点________.
9.已知指数函数f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,2),\f(\r(3),9))),则f(3.14)与f(π)的大小关系为________(用“<”连接).
10.(易错题)某林区2019年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁采伐等措施,使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过x年后,该林区的木材蓄积量为y万立方米,求y=f(x)的表达式,并求此函数的定义域;
(2)求经过多少年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.(1.058≈1.48,1.059≈1.55).
1.(多选题)已知函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x-1,x≤0,,x\f(1,2),x>0,))则下列判断中正确的是( )
A.f(x)的值域为[0,+∞)
B.f(x)的图象与直线y=2有两个交点
C.f(x)在其定义域上不具有单调性
D.f(x)是偶函数
2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-2-x,则不等式f(x)<-eq \f(1,2)的解集是________.
3.(情境命题—学术情境)已知四个函数f(x)=2x,g(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x,h(x)=3x,p(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x,其中y=f(x),y=g(x)的图象如图所示.
(1)请在坐标系中画出y=h(x),y=p(x)的图象,并根据这四个函数的图象总结出指数函数具有哪些性质?
(2)举出在实际情境中能够抽象出指数函数的一个例子并说明理由.
§3 指数函数
3.1 指数函数的概念
3.2 指数函数的图象和性质
第1课时 指数函数的概念、图象和性质
必备知识基础练
1.解析:y=52x=(52)x=25x,是指数函数,选D.
答案:D
2.解析:由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a-1>0,,2a-1≠1,))得a>eq \f(1,2),且a≠1,选C.
答案:C
3.解析:由指数函数的定义知,
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2-3a+3=1, ①,a>0且a≠1, ②))
由①得a=1或2,结合②得a=2.
答案:2
4.解析:设f(x)=ax(a>0,且a≠1),
∵f(2)=9,
∴a2=9,a=3,即f(x)=3x.
∴f(-2)=3-2=eq \f(1,9),f(1)=3.
答案:eq \f(1,9) 3
5.解析:从曲线的变化趋势,可以得到函数f(x)为减函数,从而有00,即b<0.故选D.
答案:D
6.解析:因为指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),所以在函数y=ax-3+3中,令x-3=0,得x=3,此时y=1+3=4,即函数y=ax-3+3的图象过定点(3,4).
答案:(3,4)
7.解析:∵y=πx在R上为增函数,且π2m-1>π3-m,
∴2m-1>3-m,得m>eq \f(4,3).选B.
答案:B
8.解析:(1)∵y=0.7x在R上为减函数,又∵-0.3>-0.4,
∴0.7-0.3<0.7-0.4.
(2)在同一坐标系中作出函数y=2.5x与y=1.2x的图象,如图所示.由图象可知2.51.4>
(3)∵1.90.4>1.90=1,
0.92.4<0.90=1,
∴1.90.4>
关键能力综合练
1.解析:∵函数f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a-3))·ax是指数函数,
∴eq \f(1,2)a-3=1,a>1,a≠1,解得a=8,∴f(x)=8x,∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=eq \r(8)=2eq \r(2),故选B.
答案:B
2.解析:由eq \f(1,2)<2x+1<4,及函数y=2x为增函数,得-1
3.解析:由指数函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))x在R为减函数,可知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))
4.解析:函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象是由函数y=ax的图象经过向上或向下平移而得到的,因其图象不经过第一象限,所以a∈(0,1).若经过第二、三、四象限,则需将函数y=ax(0答案:C
5.解析:由题意,知f(a)<1等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0,,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a-7<1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0,,\r(a)<1,))解得-3答案:C
6.解析:因为y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x是指数函数,故有eq \f(b,a)>0,即a,b同号,于是-eq \f(b,2a)<0,而二次函数y=ax2+bx图象的对称轴为直线x=-eq \f(b,2a),所以排除B、D;又由指数函数的图象,得0
答案:A
7.解析:f(2)=4,得a2=4,所以a=±2,又a>0,所以a=2,故f(x)=2x.
答案:f(x)=2x
8.解析:当x=-eq \f(1,2)时,显然f(x)=0,因此图象必过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),0)).
答案:eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),0))
9.解析:∵f(x)是指数函数,∴可设f(x)=ax(a>0,a≠1).由已知,得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,2)))=eq \f(\r(3),9),即a=eq \f(\r(3),9)=3,即a=3,∴f(x)=3x.
∵3.14<π,∴f(3.14)
(2)由200(1+5%)x=300,得1.05x=1.5,
由1.058≈1.48,1.059≈1.55可知,经过9年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.
学科素养升级练
1.解析:函数f(x)的图象如图所示,由图可知,f(x)的值域为[0,+∞),A正确;f(x)的图象与直线y=2有两个交点,B正确;
f(x)在R上不具有单调性,C正确;f(x)不具有奇偶性,D错误.故选A、B、C.
答案:ABC
2.解析:设x<0,则-x>0.因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(1-2x)=2x-1.当x>0时,1-2-x∈(0,1),所以不等式f(x)<-eq \f(1,2)无解,当x<0时,2x-1<-eq \f(1,2),解得x<-1.
答案:(-∞,-1)
3.解析:(1)画出y=h(x),y=p(x)的图象如图所示.
4个函数都是y=ax(a>0,且a≠1)的形式,它们的性质包括:
①定义域为R.
②值域为(0,+∞).
③都过定点(0,1).
④当a>1时,函数在定义域内单调递增;
当0⑤当a>1时,若x<0,则0
00,则0
⑥对于函数y=ax(a>0,且a≠1),y=bx(b>0,且b≠1),当a>b>1时,若x<0,则0
当0bx>1;若x=0,则ax=bx=1;若x>0,则0
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
指数函数的概念
知识点二
指数函数的图象
知识点三
指数函数的单调性
关键能力综合练
进阶训练第二层
学科素养升级练
进阶训练第三层
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