北师大版 (2019)必修 第一册2.1 对数的运算性质综合训练题

2.1　对数的运算性质

1.对a>0，且a≠1，M>0，N>0，下列说法正确的是(　　)

A．logaM·logaN＝loga(M＋N)

B.＝loga(M－N)

C．loga＝logaM

D．logaM＝

2．若ab>0，给出下列三个等式：

①lg(ab)＝lg a＋lg b；

②lg ＝lg a－lg b；

③lg 2＝lg .

其中一定成立的等式的序号是(　　)

A．①②③  B．①②

C．①③    D．③

3.2log510＋log50.25＝(　　)

A．0  B．1

C．2  D．4

4．log3＋log3＋log22＝________.

5．计算(1)log535－2log5＋log57－log51.8；

(2)log2＋log212－log242－1；

(3)lg－lg＋lg.

6.若lg x－lg y＝a，则lg3－lg3＝(　　)

A．3a   B.a

C．a    D.

7．已知4x＝3，log4＝y，则x＋y等于(　　)

A．2  B．8

C．4  D．log43

8．已知log32＝a,3b＝5，则log3用a，b表示为________．

1．已知x，y为正实数，则下列式子一定成立的是(　　)

A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y

B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y

C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y

D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y

2．化简log612－2log6的结果为(　　)

A．6  B．12

C．log6  D.

3．已知log3x＝m，log3y＝n，则log3用m，n可表示为(　　)

A.m－n    B.m－n

C.－  D.m－n

4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)

A．1010.1   B．10.1

C．lg10.1  D．10－10.1

5．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是(　　)

A．a－2   B．3a－(1＋a)2

C．5a－2  D．－a2＋3a－1

6．(探究题)已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则lg (ab)·2＝(　　)

A．2  B．4

C．6  D．8

7．计算log2＋log2＝________.

8．已知log35＝m,3n＝7，则m，n表示log3245为________．

9．(易错题)设lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则log4的值为________．

10．计算下列各式的值：

(1)4lg 2＋3lg 5－lg；

(2)；

(3)4；

(4)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)．

1．(多选题)若a>0，且a≠1，则下列说法错误的是(　　)

A．若M＝N，则logaM＝logaN

B．若logaM＝logaN，则M＝N

C．若logaM2＝logaN2，则M＝N

D．若M＝N，则logaM2＝logaN2

2．若10x＝2y，则＝________.

3．(情境命题—运算推理)甲、乙两人解关于x的方程(log2x)2＋blog2x＋c＝0，甲写错了常数b，得到根，；乙写错了常数c，得到根，64.求原方程的根．

§2　对数的运算

2.1　对数的运算性质

必备知识基础练

1．解析：由对数的运算性质知A，B错误；对于C，loga＝loga(M)＝logaM，∴C正确．D中(－2)不能做底数，∴D错误，故选C.

答案：C

2．解析：①②当a<0，b<0时不成立，∴选D.

答案：D

3．解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.

答案：C

4．解析：log3＋log3＋log22＝log3＋log22＋log2＝0＋1＋＝.

答案：

5．解析：(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.

(2)原式＝log2＋log212－log2－log22

＝log2＝log2

＝log22＝－.

(3)解法一：原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)

＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5

＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.

解法二：原式＝lg－lg 4＋lg7＝lg

＝lg(×)＝lg＝.

6．解析：由对数的运算性质可知，原式＝3(lg x－lg 2)－3(lg y－lg 2)＝3(lg x－lg y)＝3a.

答案：A

7．解析：∵4x＝3，∴x＝log43，又log4＝y，∴x＋y＝log43＋log4＝log4＝log416＝log442＝2.故选A.

答案：A

8．解析：由a＝log32，b＝log35，得log3＝log330＝(log35＋1＋log32)＝(1＋a＋b)．

答案：(1＋a＋b)

关键能力综合练

1．解析：2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y，选项A错误；2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy)，选项B错误，D正确；2lg x＋lg y＝(2lg x )lg y，选项C错误．故选D.

答案：D

2．解析：方法一：原式＝log6(6×2)－2log62＝(1＋log62)－log62＝(1－log62)＝log63＝log6.

方法二：原式＝log6－log62＝log6＝log6.

答案：C

3．解析：log3＝log3－log3＝log3x－log3(y·y)＝log3x－log3y＝m－n.

答案：D

4．解析：用m1，m2分别表示太阳、天狼星的星等，则m1＝－26.7，m2＝－1.45.

由m2－m1＝lg，得lg＝×[(－1.45)－(－26.7)]＝10.1.所以＝1010.1，即太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.故选A.

答案：A

5．解析：log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.

答案：A

6．解析：∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴lg a＋lg b＝lg (ab)＝2，lg a·lg b＝.

∴lg (ab)·2＝2·(lg a－lg b)2＝2[(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b]＝2×(22－4×)＝4.故选B.

答案：B

7．解析：原式＝log2(·)＝log24＝2.

答案：2

8．解析：由3n＝7，得log37＝n，log3245＝log3(5×49)＝log35＋log372＝log35＋2log37＝m＋2n.

答案：m＋2n

9．解析：∵lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，∴lg xy＝lg(x－2y)2，∴xy＝(x－2y)2，∴(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y.∵x>0，y>0，x－2y>0，∴x＝y不符合题意，舍去，即x＝4y，∴＝4，∴log4＝log4 4＝1.

答案：1

10．解析：(1)原式＝lg＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4.

(2)原式＝＝＝.

(3)原式＝(4)＝2＝＝.

(4)原式＝log2[(1＋＋)(1＋－)]

＝log2[(1＋)2－()2]＝log22＝.

学科素养升级练

1．解析：在A中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立，故A错误；在B中，当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则 logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立，故D错误．故选A、C、D.

答案：ACD

2．解析：若10x＝2y，则lg 10x＝lg 2y，xlg 10＝ylg 2，＝lg 2.

答案：lg 2

3．解析：∵甲写错了常数b，得到的根为和，∴c＝log2×log2＝6.

∵乙写错了常数c，得到的根为和64，

∴b＝－(log2＋log264)＝－(－1＋6)＝－5.

故原方程为(log2x)2－5log2x＋6＝0.

得(log2x－2)(log2x－3)＝0，

∴log2x＝2或log2x＝3，即x＝4或x＝8.

∴原方程的根为4,8.