数学必修 第一册2.2 用函数模型解决实际问题随堂练习题

2.2　用函数模型解决实际问题

1.商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(6－x)，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定当销售价格x为多少时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

2.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完．这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为(　　)

A．y＝x(x∈N*)  B．y＝x (x∈N*)

C．y＝2x(x∈N*)  D．y＝(x∈N*)

3．有l米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值．

4．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y(单位：℃)与时间t(单位：min)近似满足一次函数关系(图象为图中的直线)；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(单位：℃)与时间t(单位：min)近似满足函数的关系式为y＝80＋b(a，b为常数)(图象为图中的曲线)，通常这种热饮在40 ℃时口感最佳．某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示．那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为________．

5．某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加培训的员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1 000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元．

(1)求出y与x之间的函数关系式；

(2)请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元．

1．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系较为近似的是(　　)

A．y＝0.2x  B．y＝(x2＋2x)

C．y＝    D．y＝0.2＋log16x

2．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(单位：℃)，空气的温度是T0(单位：℃)，经过t分钟后物体的温度T(单位：℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)·e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)(　　)

A．1.78  B．2.77

C．2.89  D．4.40

3．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件时，日均销售100件，当单价每增加1元/件时，日均销售量减少10件，该商品在销售过程中，每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大(　　)

A．8元/件  B．10元/件

C．12元/件  D．14元/件

4．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0＜a＜12)，不考虑树的粗细．现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u(单位：m2)，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)的图象大致是(　　)

5．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r＝0.6lg I，若6.5级地震释放的相对能量为I1,7.4级地震释放的相对能量为I2，记n＝，则n约等于(　　)

A．16  B．20

C．32  D．90

6．如图，有四个平面图形分别是三角形、平面四边形、直角梯形、圆，垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)，经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y＝f(x)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是(　　)

7．有一批材料可以建成360 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________m2.(围墙厚度不计)

8．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．

9．(探究题)如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系．有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：

①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；

②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；

③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；

④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样．其中正确信息的序号是________．

10．(易错题)如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝a(a＞2)，BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝x，绿地面积为y.

(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域．

(2)当AE为何值时，绿地面积y最大？

1．(多选题)某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系式t＝且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．以下结论正确的是(　　)

A．该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时

B．当x∈[－6,6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少

C．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内

D．到了此日15时，甲所购买的食品已过了保鲜时间

2．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2 500 mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y mg.

(1)y与x的关系式为________；

(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效；而低于500 mg时，病人就有危险．则要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过________小时．(精确到0.1)

(参考数据：0.20.3≈0.6,0.82.3≈0.6,0.87.2≈0.2,0.89.9≈0.1)

3．(情境命题—生活情境)某医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物．患者单次服用指定规格的该药物质，其体内的药物浓度c(mg/L)随时间t(h)的变化情况(如图所示)：当0≤t≤1时，c与t的函数关系式为c＝m(2t－1)(m为常数)；当t≥1时，c与t的函数关系式为c＝k·t(k为常数)．服药2 h后，患者体内的药物浓度为10 mg/L.这种药物在患者体内的药物浓度不低于最低有效浓度，才有疗效；而超过最低中毒浓度，患者就会有危险．

(1)首次服药后，药物有疗效的时间是多长？

(2)首次服药1 h后，可否立即再次服用同种规格的这种药物？

(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477)

2．2　用函数模型解决实际问题

必备知识基础练

1．解析：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，解得a＝2.

(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(6－x)．

设商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)元，

则f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(6－x)＝－10x2＋90x－178

＝－102＋(3＜x＜6)．

当x＝时，函数f(x)在定义域(3,6)上取得最大值，最大值为，

即当销售价格为4.5元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

2．解析：由题意可得，剩下的部分依次为，，，…，

因此x天后剩下的部分y与x的函数关系式为y＝(x∈N*)，故选D.

答案：D

3．解析：设小矩形的长为x，宽为y，窗户的面积为S，

则由图可得9x＋πx＋6y＝l，

所以6y＝l－(9＋π)·x，

所以S＝x2＋4xy＝x2＋x·[l－(9＋π)·x]

＝－x2＋lx＝－·2＋.

要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S最大．

由6y＞0，得0＜x＜.

因为0＜＜，

所以当x＝，y＝＝，

即＝时，窗户的面积S有最大值，且Smax＝.

4．解析：由题意知当0≤t≤5时，图象是直线，当t≥5时，图象对应的解析式为y＝80＋b，图象过点(5,100)和点(15,60)，则得即y＝80＋20，t≥5，当y＝40时，得80＋20＝40，即80＝20，得＝，得＝2，得t＝25，即最少需要的时间为25 min.

答案：25 min

5．解析：(1)当0≤x≤30，x∈N时，y＝400x＋1 000x＝1 400x；

当30＜x≤60，x∈N时，y＝400x＋[1 000－20·(x－30)]·x＝－20x2＋2 000x.

故y＝

(2)当0≤x≤30，x∈N时，y≤1 400×30＝42 000元；

当30＜x≤60，x∈N时，y≤－20×502＋2 000×50＝50 000元．

综上所述，公司此次培训的总费用最多需要50 000元．

关键能力综合练

1．解析：当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C.

答案：C

2．解析：由题意可知50＝10＋(90－10)e－0.25t，整理得e－0.25t＝，即－0.25t＝ln＝－ln 2≈－0.693，解得t≈2.77.

答案：B

3．解析：设单价为(6＋x)元，则日均销售量为(100－10x)件，日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0≤x＜10)，所以当x＝4时，ymax＝340.因此单价为10元/件时，利润最大．

答案：B

4．解析：设AD长为x，则CD长为16－x，

又∵要将点P围在矩形ABCD内，∴a≤x≤12.

则矩形ABCD的面积S＝x(16－x)＝－(x－8)2＋64.

若0＜a＜8，当且仅当x＝8时，Smax＝u＝64；

若8≤a＜12，Smax＝u＝a(16－a)．

故函数u＝f(a)的解析式为u＝画出函数图象可得其形状与B接近，故选B.

答案：B

5．解析：∵r＝0.6lg I，∴I＝10.

当r＝6.5时，I1＝10，

当r＝7.4时，I2＝10，

∴n＝＝10÷10＝10＝10≈32.

答案：C

6．解析：由函数的图象可知，几何图形具有对称性．选项A，B，D由左向右移动过程中面积增加的先慢后快，然后相反，选项C，后面是直线增加，不满足题意，故选C.

答案：C

7．解析：如图，设每个小矩形的长为a m，则宽为b＝(360－4a)m，记面积为S m2.

则S＝3ab＝a(360－4a)＝－4a2＋360a(0＜a＜90)．

∴当a＝45时，Smax＝8 100(m2)．

∴围成场地的最大面积为8 100 m2.

答案：8 100

8．解析：由题意知，第一年产量为a1＝×1×2×3＝3，以后各年产量分别为an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－n·(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N*，n≥2)．令3n2≤150，得2≤n≤5，又n∈N*，得2≤n≤7，故生产期限最长为7年．

答案：7

9．解析：看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应4.5，故③正确，④错误．

答案：①②③

10．易错分析：实际问题中涉及函数的解析式中含参数的函数最值问题，求解时要注意参数对函数最值的影响．本题中的函数解析式中含参数，因此求解其最值时，应根据参数与所给区间的关系分类讨论后求最值．

解析：(1)由题可得S△AEH＝S△CFG＝x2，S△DGH＝S△BEF＝(a－x)(2－x)，

∴y＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△BEF

＝2a－x2－(a－x)(2－x)

＝－2x2＋(a＋2)x.

由得0＜x＜2.

当x＝2时，点H，F分别为点D，B重合，y＝2a－4，满足y＝－2x2＋(a＋2)x.综上，y＝－2x2＋(a＋2)x，定义域为(0,2]．

(2)由(1)得y＝－22＋，0＜x≤2.

当＜2，即2＜a＜6时，最大值在x＝时取得，即ymax＝；

当≥2，即a≥6时，y＝－2x2＋(a＋2)x在(0,2]上是增函数，则x＝2时，ymax＝2a－4.

综上所述，当2＜a＜6，AE＝时，绿地面积取最大值；当a≥6，AE＝2时，绿地面积取最大值2a－4.

学科素养升级练

1．解析：由题意知当x＝4时，t＝16，∴24k＋6＝16＝24，∴4k＋6＝4，∴k＝－，

∴当x＞0时，t＝2，

故当x＝6时，t＝23＝8，故A正确．

由题知当x≤0时，t＝64，故B不正确．

由题图知此日13时，室外温度为10 ℃，

当x＝10时，t＝2，故此日13时甲所购买的食品已过保鲜时间，故C不正确，D正确．故选A、D.

答案：AD

2．解析：(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物2 500 mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y＝2 500×(1－20%)x＝2 500×0.8x(mg)，即y与x的关系式为y＝2 500×0.8x.

(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效；而低于500 mg时，病人就有危险，∴令2 500×0.8x≥500，即0.8x≥0.2.∵0.87.2≈0.2，y＝0.8x是单调递减函数，∴x≤7.2，

∴要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时．

答案：(1)y＝2 500×0.8x　(2)7.2

3．解析：(1)当t≥1时，c＝k·t，函数图象过点(2,10)，

所以k·2＝10，解得k＝40.

所以当t＝1时，c＝40×1＝20.

所以当0≤t≤1时，c＝m(2t－1)的图象过点(1,20)，

所以m＝20，所以c＝20·2t－20.

由20·2t－20≥10得2t≥，所以t≥log2＝≈＝0.59，

则首次服药后，药物有疗效的时间为2－0.59＝1.41(h)．

(2)设1 h后再次服用同等规格的药物x小时后的药物浓度为y.

当0≤x≤1时，y＝20·2x－20＋40·x＋1＝20·(2x＋2－x)－20，

此函数在[0,1]内单调递增，

所以当x＝1时，ymax＝30.

当x＞1时，y＝40·x＋40·x＋1＝60·x＜30.

因为30＜32，所以首次服药1 h后，可以立即再次服用同等规格的这种药物．