2022届新高考模拟数学试卷3（含解析）

这是一份2022届新高考模拟数学试卷3（含解析），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则( )
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则( )
A．B．C．D．
3．若满足则( )
A．B．C．D．
4．已知函数的图像如图所示，则( )
A．B．C． D．
5．函数的部分图像大致为( )
A．B．
C．D．
6．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似付出正态分布，，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( )
A．150B．200C．300D．400
7．《张丘建算经》是我国古代数学名著，书中有如下问题∶"今有懒女不善织，日减功迟，初日织七尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何?"其意思为∶有个懒惰的女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织七尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布多少尺?( )
A．90B．120C．140D．150
8．在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为则三校锥的外接球的表面积为( )
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知是定义域为的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是( )
A．的最小正周期为4
B．的图像关于直线对称
C．当时，函数的最大值为2
D．当时，函数的最小值为
10．如图，正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，则( )
A．直线与直线垂直B．直线与平面平行
C．点与点到平面的距离相等D．平面截正方体所得的截面面积为
11．在平面直角坐标系中，已知双曲线，则( )
A．实轴为2 B．渐近线为
C．离心率为2 D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
12．已知，，记，则( )
A．的最小值为 B．当最小时，
C．的最小值为 D．当最小时
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量，，若，则__________.
14．的展开式中的系数为__________.
15．某系列智能手机玻璃版有"星河银"、"罗兰紫"、"翡冷翠"、"亮黑色"四种颜色.若甲、乙等四位市民准备分别购买一部颜色互不相同的同一型号玻璃版的该系列手机.若甲购买"亮黑色"或"星河银"，则乙不购买"罗兰紫"，则这四位市民不同的购买方案有__________种.
16．已知函数①若，则不等式的解集为__________；②若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(10分)在中，，，分别为内角，，的对边，且满足.
(1)求的大小；
(2)若，，求的面积.
18．(12分)给出下列三个条件：①，，成等差数列；②对于，点均在函数的图像上，其中为常数；③.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.
设是一个公比为的等比数列，且它的首项，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，证明的前项和.
19．(12分)如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
20．(12分)已知椭圆的右准线方程为，右顶点为，上顶点为，右焦点为，斜率为2的直线经过点，且点到直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)将直线绕点旋转，它与椭圆C相交于另一点，当，，三点共线时，试确定直线的斜率.
21．(12分)南京市从2020年6月1日起推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下∶
(1)从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；
(2)将居民对垃圾分类的了解程度分为"比较了解"（得分不低于60分）和"不太了解"（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为"居民对垃圾分类的了解程度"与"性别"有关?
(3)从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，连同名男性调查员一起组成3个环保宜传组，若从这人中随机抽取3人作为组长，且男性组长人数的期望不小于2，求的最小值.
附公式及表，其中.
22．(12分)已知函数，，其中，是的一个极值点，且.
(1)讨论函数的单调性；(2)求实数和的值；
(3)证明
高三数学试题答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1－8：C D A D C C B C
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9．ABC 10．BD 11．BC 12．AB
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．16题第一个空2分，第二个空3分.
13． eq \f( eq \r(2),2)；14．－280；15．20； 16． = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①（－∞，0] = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②（－∞，2）∪（4，＋∞）
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）因为，
由正弦定理，得，即， ……2分
所以， ……4分
因为，所以． ……5分
由正弦定理，得． ……6分
由余弦定理，得，
解得． ……8分
所以的面积． ……10分
18． 解：若选 eq \\ac(○,1)：因为成等差数列，所以.
又因为数列是等比数列，即解得 或（舍去）……3分
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式 ……6分
若选 eq \\ac(○,2)：点均在函数的图像上，所以，又因为，所以，所以，所以，所以. ……3分
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式 ……6分
若选 eq \\ac(○,3)：，因为是公比为的等比数列，
所以，即解得或（舍去） ……3分
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式 ……6分
（2）证明：因为，所以 ……8分
所以 ……10分所以 ……12分
19．解：（1）∵DE⊥BE，BE∥DC，∴DE⊥DC． ……1分
又∵A1D⊥DC，A1D∩DE=D，∴DC⊥平面A1DE，∴DC⊥A1E． ……3分
又∵A1E⊥DE，DC∩DE=D，∴A1E⊥平面BCDE． ……5分
（2）∵A1E⊥平面BCDE，DE⊥BE，
∴以EB，ED，EA1所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系（如图）．

易知DE=2，则A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(4，2，0)，D(0，2，0)，……7分
∴=(−2，0，2)，=(2，2，0)，
易知平面A1BE的一个法向量为n=(0，1，0)． ……8分
设平面A1BC的法向量为m=(x，y，z)，
由·m=0，·m=0，得令y=1，得m=(−，1，−)， ……10分
∴cs〈m，n〉===．
由图得二面角E −A1B −C为钝二面角，∴二面角E −A1B −C的余弦值为−．……12分
20.解：（1）由题意知，直线的方程为，， ………2分
右焦点到直线的距离为， ……………4分
又椭圆的右准线为，即，所以，将此代入上式解得，，椭圆的方程为； ……………6分
（2）由（1）知，， 直线的方程，……………7分
联立方程组，
解得或（舍），即， ……………10分
直线的斜. ……………12分
其他方法：
方法二: 由（1）知，， 直线的方程为，由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，解得，代入椭圆解得：或，又由题意知，得或，所以.
方法三：由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，得，，
所以,，当三点共线时有，，
即，解得或，又由题意知，得或，所以.
21.解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为
eq \f(130＋110＋90＋110＋100＋60,1000)＝0.6，故从该社区随机抽取一名居民得分不低于60分的概率为0.6； ……2分
（2）由题意得列联表如下：
……3分
K2＝ eq \f(1000×（250×270－330×150）2,400×600×420×580)≈5.542 ……5分
因为 5.542＞3.841，
所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关 ……6分
由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人 ……7分
随机变量ξ的所以可能取值为0，1，2，3，其中
P（ξ＝0）＝ eq \f(Ceq \a(0,m+6)C eq \a(3,4),C eq \a(3,m+10))，P（ξ＝1）＝ eq \f(Ceq \a(1,m+6)C eq \a(2,4),C eq \a(3,m+10))，P（ξ＝2）＝ eq \f(Ceq \a(2,m+6)C eq \a(1,4),C eq \a(3,m+10))，P（ξ＝3）＝ eq \f(Ceq \a(3,m+6)C eq \a(0,4),C eq \a(3,m+10))，
……9分
所以随机变量ξ的分布列为：
E（ξ）＝ eq \f(Ceq \a(0,m+6)C eq \a(3,4),C eq \a(3,m+10))×0＋ eq \f(Ceq \a(1,m+6)C eq \a(2,4),C eq \a(3,m+10))×1＋ eq \f(Ceq \a(2,m+6)C eq \a(1,4),C eq \a(3,m+10))×2＋ eq \f(Ceq \a(3,m+6)C eq \a(0,4),C eq \a(3,m+10))×3≥2 ……10分
解得m≥2，所以m的最小值为2 ……12分
法二：由题意知，随机变量ξ服从超几何分布H（3，m＋6，m＋10）， ……8分
则E（ξ）＝ eq \f(3（m＋6）,m＋10)， ……10分
由E（ξ）≥2 得m≥2，所以m的最小值为2 ……12分
解：（1）函数f(x)的定义域为（0，＋∞），且f (x)＝2x－2lnx－2，令h(x)＝f (x)，
则有h(x)＝ eq \f(2（x－1）,x)，由h(x)＝0可得x＝1，如下表：
所以h(x)≥h(1)＝0 ，即f (x)≥0，f(x)在（0，＋∞）上单调递增 ……3分
函数g(x)的定义域为（0，＋∞），且g (x)＝1－ eq \f(a,x2)－ eq \f(2lnx,x)
由已知，得g (x0)＝0，即 x02－2x0lnx0－a＝0 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
由 g (x0)＝2可得x02－x0（lnx0）2－2x0＋a＝0 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
联立 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②消去a可得2x0－（lnx0）2 －2lnx0－2＝0 = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③
令 t (x)＝2x－（lnx）2 －2lnx－2，则t (x)＝2－ eq \f(2lnx,x)－ eq \f(2,x) ＝ eq \f(2（x－lnx－1）,x)
由 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①知 x－lnx－1≥0，故t (x)≥0，所以t (x)在（0，＋∞）上单调递增
t (1)＝0，所以方程 = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③有唯一解x0＝1，代入 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①，可得a＝1. ……7分
由（1）知f (x)＝x2－2xlnx在（0，＋∞）上单调递增，
故当x∈（1，＋∞），f (x)＞f (1)＝1，所以g (x)＝1－ eq \f(a,x2)－ eq \f(2lnx,x)＝ eq \f(f (x)－1,x2)＞0，
可得g(x)在（1，＋∞）上单调递增。当x＞1时， g(x)＞g(1)＝2，即x＋ eq \f(1,x)－（lnx）2 ＞2
亦即（ eq \r(x)－ eq \f(1, eq \r(x)) ）2＞（lnx）2 ，这时 eq \r(x)－ eq \f(1, eq \r(x))＞0， lnx＞0，故得 eq \r(x)－ eq \f(1, eq \r(x))＞lnx
取x＝ eq \f(2k＋1,2k－1)，k∈N*。可得 eq \r( eq \f(2k＋1,2k－1))－ eq \r( eq \f(2k－1,2k＋1))＞ln（2k＋1）－ln（2k－1）
而 eq \r( eq \f(2k＋1,2k－1))－ eq \r( eq \f(2k－1,2k＋1))＝ eq \f(2, eq \r(4k2－1)) 故eq \(k=1,\d\f1()\s\up6 (eq \(∑,\d\f1()\s\up13 (n)))) eq \f(2, eq \r(4k2－1))＞eq \(k=1,\d\f1()\s\up6 (eq \(∑,\d\f1()\s\up13 (n))))[ln（2k＋1）－ln（2k－1）]＝ln（2n＋1）
所以eq \(k=1,\d\f1()\s\up6 (eq \(∑,\d\f1()\s\up13 (n)))) eq \f(1, eq \r(4k2－1))＞ eq \f(1,2)ln（2n＋1） ……12分
得分
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
男性人数
40
90
120
130
110
60
30
女性人数
20
50
80
110
100
40
20
不太了解
比较了解
总计
男性
女性
总计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
不太了解
比较了解
总计
男性
250
330
580
女性
150
270
420
总计
400
600
1000
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(Ceq \a(0,m+6)C eq \a(3,4),C eq \a(3,m+10))
eq \f(Ceq \a(1,m+6)C eq \a(2,4),C eq \a(3,m+10))
eq \f(Ceq \a(2,m+6)C eq \a(1,4),C eq \a(3,m+10))
eq \f(Ceq \a(3,m+6)C eq \a(0,4),C eq \a(3,m+10))
x
（0，1）
1
（1，＋∞）
h(x)
－
0
＋
h(x)
↘
极小值
↗