2020-2021学年第12章 整式的乘除12.2 整式的乘法3 多项式与多项式相乘教学设计

14．1．4 （3） 多项式与多项式相乘

一.教学目标

1．知识与技能

   探索多项式与多项式相乘的法则，并运用来进行运算．理解多项式乘以多项式的法则的三种数学语言的转换.

2．过程与方法

经历从形、数两个角度研究数学问题探究过程，体会数形结合、转化的思想；运用法则解决问题的过程，体会从一般到特殊的研究方法.

3．情感态度与价值观

（1）通过主动参与到多项式与多项式相乘探索过程，逐步形成独立思考、主动探索的习惯,提高抽象概括能力.

（2）通过探索多项式与多项式相乘的法则,培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力.

二.教学重点与难点

1. 重点：多项式与多项式相乘的法则的探究及运算．

2．难点：多项式与多项式相乘的法则的探究方法以及如何用三种语言表示法则.  

三.教学准备     多媒体课件

四.教学方法     引导探究教学法

教学过程

（一）拼图游戏引入：

请同学们用手中的长方形纸片拼成一个更大的长方形，并思考如何符号语言表示它的面积？数学的符号语言就是字母或者是式子来表示.

现在让同学们来展示一下自己的作品。好，我们看到有的同学拼成这样子的长方形，有的同学拼成这样子的长方形。那一起来看一下。先看这个比较小的长方形。（黏在黑板上）

如果我们给它的边分别用a，b，还有p来表示，那么，这个长方形的面积应该怎么表示呢？   生：p(a+b)             对吗，从整体看我们可以表示成p(a+b)，还有其他表示吗？                               生：pa+pb              是不是也是对的？那从部分来看我们又可以看做pa+pb，那么我们从不同角度表示表示的图形面积是相等关系，即p(a+b)= pa+pb

好，那么大家用符号语言表示完这个图形面积有没想起什么？                            生：

这是不是我们用面积拼图得到上一节课的单项式乘以多项式的运算法则呢。其实这就是单项式乘以多项式运算法则的图形语言和符号语言，那我们一起来回顾一下它的文字语言怎么表达？

生：单项式乘以多项式等于，并把积相加.

那我们会发现单项式乘以多项式中每一项，也就是单项式乘以多项式的问题我们最后都转化成单项式乘以单项式来解决.

我们发现这个简单的图形中其实蕴含着不简单的思维.

设计意图：从拼图游戏引入让学生拼图并计算面积，在复习单乘多的法则及法则的推导过程，同时直接让学生发现新知识，并类比推导多乘多法则.

（二）类比探究

好，现在我们来看一下这个比较大的长方形面积用符号语言应该怎么表示呢？

如果我们给这小长方形的的边长分别标为a、b、p、q

那么现在来看一下这个大长方形面积可以怎么表示？生：(a+b)(p+q)

说说你的理由                                 生：从整体来看（长乘以宽）

还有没有其他的表示方法？                      生：a p + a q + b p+ b q

那你又是怎么看的？

看成四块面积之和（当然学生还可能看成两块面积之和），

 好，这是我们从不同角度用符号语言表示大正方形的面积，它们是相等的关系。那这四项是怎么得到的？

刚才我们的活动是用来探究单项式乘以多项式的法则，那么这个活动可以探究什么呢？

生：多项式乘以多项式.

对了，这就是我们今天要学习的多项式乘多项式的运算.

类比刚才探究法则，这是多乘多法则的图形语言、符号语言表示，那么它的文字语言一个怎么表述？

现在请同学认真思考，整理一下自己的语言来说一说，师补充完整.

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

    打开课本，把文字语言读两遍.

这就是我们今天苏要学习的多项式乘以多项式的法则内容.

刚才我们对多项式乘以多项式的法则做了探究，现我们来做个反思：

1. 这是我们从形的角度（图形面积）来帮助完成式（公式）的探究，进一步体会数形结合的数学思想，最终是转化为单项式乘单项式的类型。也是渗透了转化思想.

2.刚才在探究的过程中不知道大家有没注意到我们的一个问题是：拼成一个长方形。那么两块拼得块还是四块拼得快呢？

希望同学们在以后解决问题是要有择优的原则。还有一个审题一定要认真哦.

设计意图：类比单项式乘以多项式法则探究多乘多法则，进一步体会数形结合的数学思想方法和转化的思想.

三、运用新知

好，现在我们已经学了一个新的本领，那就是我们已经掌握了多项式乘以多项式的运算法则，有同学记住了符号语言表示，有同学记住了文字语言表示，其实大家一定不能忘了还有一个幕后英雄——图形语言表示。接下来我们用新本领来解决一下新问题.

例：计算：

(1)(3x+1)(x+2)   

(1)首先我们来分析一下这个计算的，属于什么类型?        生： 整式乘法

师：整式乘法中的哪一种？                              生：多项式乘多项式

师：算理也就是计算的依据是什么？                      生：多项式乘多项式运算法则

师：两个多项式分别是有哪几项呢？                      生：3x、1、x、2

师：具体我们应该怎么做呢？

生：用前面多项式中的第一项3x去乘以后面中的每一项x和2，再用前面多项式中的第二项去乘以后面中的每一项，

师：那么有没什么需要注意的地方呢？

生：不要漏乘.

那么大家一起来一下

解：原式=3x·x + 3x·2+ 1·x +1×2（算理）

         =3x2+ 6x+ x+2          （单乘单）

         =3x2+ 7x +2    （合并同类项）

 (2) (x-8y)(x- y)  

分析：

师：这题与（1）小题有什么异同点呢？               生：运算类型一样，但多项式中的项有的是负的。

师：那么解答方法一样吗？要注意什么呢？            生：一样，要注意符号问题，一定记住符号跟着                 系数走。

好，我们一起来完成一下。

解：原式=x·x -x·y -8y·x +8y·y

        = x2  - xy - 8xy +8y2

            = x2  -9xy +8y2

熟练之后大家可以直接从第二部开始进行运算.

好，现在请独立同学们来完成下面两题练习P102.1（2）（3）

第二小题, 哎！第二小题怎么出这样子的一个题目呢？ (a-1) 2怎么解决呢，是不是今天学的运算类型呢？

生：是，只不过，把两个相同因式写成乘方的形式.

大家有没信心正确做完这两题？好，加油！

现在请两个同学上来板演一下.

（5分钟后）现在再请两位上来批阅并讲解这两题练习.

师：这两题已经解决的同学请举手。(大部分同学举手后就开始下一个环节）

  (3) (x+ y)(x2- xy + y2)

分析：

师：这一题和前两题区别在哪里呢？

生：两项的和乘以三项的和，

师：你会做吗？那应该怎么做呢？

生：用前面多项式中的第一项去乘以后面中的每一项，再用前面多项式中的第二项去乘以后面中的每一项。

师：那就是说多项式乘以多项式的运算法则照样可以使用。是的，

实际上在我们这个符号语言表示的法则中，每一个字母并不一定代表一个数或者一个字母，也可以表示多项式。当然也可以把三项中的两项看做一个整体来处理，但需要展开再展开，哪种做法更快呢（备用P102.1(6)）

好现在，大家可以开始计算了.（叫一个学生上去板演）

（题后反思）

现在我们给第一组练习做个小结

1.解决多项式乘以多项式运算的依据是什么？（法则）

2.在解决问题中渗透了数学的什么思想？（转化为单乘单）

3.解决问题时要注意什么？（不能漏乘，符号跟着系数走，结果有同类项要合并）

现在我们来完成第二组练习.

题后反思：这组练习我们会发现这种类型仍然属于多项式乘以多项式的类型.

只不过属于多项式乘以多项式的特殊类型——首项是一样的，首项是系数为1的一次式。所以解决的方法都一样.

那么这个结论，我们不但可以直接运用法则来自己证明，也可以通过图形表示面积来实现。当然这个一般性的结论，用来解决这种特殊类型又为我们快速运算提供了方便.

设计意图：典型例题的设计重在实现本节课的知识目标，同时带领学生做好题后反思.

能力提升题：

那接下来我们挑战一下自我，我们又回到图形面积来表示。看看大家能不能用符号语言来表示下面的图形语言.

提升练习：

如图，矩形花园ABCD中，AB=，AD=，花园中建有两条矩形道路LMPQ及RSKT，若LM=RS=，则花园中可绿化部分的面积是多少？

设计意图：解决生活实际问题是学生感受到数学与生活的密切联系培养学生用数学的方法研究客观事物。从数学的角度去思考问题体会数学的价值.

设计意图：通过挑战自我环节检测学生是否达成本节课的知识目标，加以巩固强化.

小结：1.知识：多项式乘以多项式法则及计算；     

      2.思想方法：数形结合（三种语言互译）、转化化归思想，类比、择优的思想方法.

 设计意图：学生能从三个方面对本节课进行总结反思，最后教师从解题思路、思想方法再做升华点拨.

作业：105页5、7、8 

      能力提升题

设计意图：不同层次学生都学有所获。