北师大版 (2019)必修 第二册5.2 余弦函数的图象与性质再认识课文配套课件ppt

1.5.2　余弦函数的图象与性质再认识

[教材要点]

要点一　余弦函数y＝cos x，x∈R的图象．

要点二　余弦函数y＝cos x，x∈R的性质．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)余弦函数y＝cos x，(x∈R)的图象与x轴有无数个交点．(　　)

(2)因为y＝cos x，x∈R是偶函数，所以y＝cos x＋5与y＝cos(x＋5)均是偶函数．(　　)

(3)函数y1＝|sin x|与y2＝|cos x|，x∈R的周期均为2π.(　　)

(4)余弦函数在第一象限内是减少的．(　　)

2．函数y＝cos x－2在x∈[－π，π]上的图象是(　　)

3．函数y＝cos的奇偶性是(　　)

A．奇函数

B．偶函数

C．非奇非偶函数

D．既是奇函数也是偶函数

4．函数y＝－cos x的图象可由y＝sin x的图象向________平移________个单位得到．

题型一　用五点法作余弦函数的图象——师生共研

例1　画函数y＝2cos x＋3，x∈[0,2π]的简图．

方法归纳

作形如y＝acos x＋b，x∈[0,2π]的图象的步骤

跟踪训练1　作出函数y＝－cos x＋1，x∈[0,2π]的简图．

题型二　根据余弦函数的图象求角——师生共研

例2　求不等式cos x<－的角x的集合．

方法归纳

用余弦函数的图象求角的范围时，首先可以作出y＝cos x在一个周期内的图象，然后找出适合条件的角的范围，最后依据周期性，写出所有满足条件的角的范围．

跟踪训练2　函数y＝的定义域为________________________________________________________________________．

题型三　余弦函数的基本性质——微点探究

微点1　奇偶性

例3　判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝xcos x；

(2)f(x)＝sincos.

方法归纳

(1)判断函数的奇偶性时，必须先检查其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数．

(2)判断与余弦函数有关的函数的奇偶性时，要注意两个方面，一是函数的定义域是否关于原点对称；二是注意三角函数诱导公式的合理利用．

微点2　单调性——比较大小

例4　[多选题]下列比较大小正确的是(　　)

A．cos<cos　　　B．cos<cos

C．cos<cos  D．cos>cos

方法归纳

利用余弦函数的单调性比较大小，注意函数名称要相同，并且比较的角都在同一单调区间内．

微点3　值域与最值

例5　求下列函数的值域：

(1)y＝－2cos x－1；

(2)y＝；

(3)y＝cos2x－3cos x＋2.

　(1)利用余弦函数y＝cos x的有界性，即－1≤cos x≤1来解决；

(2)利用反解法解决；

(3)利用换元及配方法解决．

方法归纳

与余弦函数有关的值域的求法

(1)直接法：①利用y＝cos x的有界性；②已知x的范围，求y＝cos x的值域．

(2)反解法：也是利用有界性，但是要把函数反解成cos x＝g(y)的形式，再用－1≤g(y)≤1，解得y的取值范围．

(3)换元法：令t＝cos x，整体换元，换元后的函数必定是我们所熟悉的函数，比如一次函数、二次函数、对数函数等．

跟踪训练3　(1)若f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数，则φ可以是(　　)

A.  B.

C．π  D．2π

(2)cos 110°，sin 10°，－cos 50°的大小关系是________．

(3)求使函数y＝ 取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值．

1.5．2　余弦函数的图象与性质再认识

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

左　　(0,1)　　(π，－1)　　(2π，1)

要点二

R　[－1,1]　偶　[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)　[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)　2π　x＝2kπ(k∈Z)　x＝2kπ＋π(k∈Z)　kπ(k∈Z)　(k∈Z)

[基础自测]

1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

2．解析：把y＝cos x，x∈[－π，π]的图象向下平移2个单位长度即可．

答案：A

3．解析：因为y＝cos＝sin x，所以该函数是奇函数．故选A.

答案：A

4．解析：y＝－cos x＝－sin＝sin，因此，只需将y＝sin x的图象向右平移个单位，得到y＝－cos x的图象．

答案：右　

题型探究·课堂解透

题型一

例1　解析：(1)列表：

(2)描点：在平面直角坐标系中描出(0,5)，，(π，1)，，(2π，5)五个点．

(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来，如图所示．

跟踪训练1　解析：(1)列表：

(2)描点：在坐标系中描出点(0,0)，，(π，2)，，(2π，0)．

(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来(如图所示)．

题型二

例2　解析：作出函数y＝cos x在[0,2π]上的图象(如图所示)．

因为cos＝cos＝－，所以当<x<时，cos x<－.

因为y＝cos x的最小正周期为2π，

所以适合cos x<－的角x的集合为

.

跟踪训练2　解析：由cos x－1≥0，得cos x≥.

由函数y＝cos x的图象知

2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z

所以函数的定义域为(k∈Z)．

答案：(k∈Z)

题型三

例3　解析：(1)定义域为R，且f(－x)＝－x·cos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，因此f(x)是奇函数．

(2)定义域为R，且f(－x)＝sincos＝－sincos＝－f(x)，因此f(x)是奇函数．

例4　解析：A中，cos＝cos，∵函数y＝cos x在上单调递减，<，∴cos>cos，A错误；B中，cos＝cos，cos＝cos，且0<<<π，又y＝cos x在[0，π]上单调递减，∴cos>cos，即cos<cos，B正确；C中，cos＝cos＝cos，且0<<<，∵y＝cos x在上单调递减，∴cos>cos，即cos>cos，C错误；D中，cos＝cos＝cos，cos＝cos，且0<<<π，又函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，所以cos>cos，即cos>cos，D正确．故选B、D.

答案：BD

例5　解析：(1)∵－1≤cos x≤1，∴－2≤－2cos x≤2，

∴－3≤－2cos x－1≤1.

∴函数y＝－2cos x－1的值域为[－3,1]．

(2)由y＝可得(1－2y)cos x＝y，cos x＝，

∵|cos x|≤1，∴cos2x≤1，

∴≤1，即3y2－4y＋1≥0，∴y≤或y≥1.

∴函数y＝的值域为∪[1，＋∞)．

(3)令t＝cos x，∵x∈R，∴t∈[－1,1]．

∴原函数可化为y＝t2－3t＋2＝2－，

易知该二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线t＝.

∴t∈[－1,1]为二次函数的单调递减区间，

∴t＝－1时，ymax＝6，t＝1时，ymin＝0，

∴函数y＝cos2x－3cos x＋2的值域为[0,6]．

跟踪训练3　解析：(1)当φ＝时，f(x)＝sin＝cos x是偶函数，故选B.

(2)sin 10°＝cos 80°，－cos 50°＝cos(180°－50°)＝cos 130°.

且0°<80°<110°<130°<180°

又y＝cos x在[0°，180°]上单调递减

∴cos 80°>cos 110°>cos 130°

即sin 10°>cos 110°>－cos 50°.

(3)因为－1≤cos x≤1，所以当cos x＝－1时，y取得最大值，此时x＝2kπ＋π(k∈Z)；当cos x＝1时，y取得最小值为，此时x＝2kπ(k∈Z)，即函数取得最大值、最小值的自变量x的集合分别是{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}和{x|x＝2kπ，k∈Z}，最大值和最小值分别是和.

答案：(1)B　(2)sin 10°>cos 110°>－cos 50°　(3)见解析