北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用2 从位移的合成到向量的加减法2.2 向量的减法图片ppt课件

2．2　向量的减法

[教材要点]

要点　向量的减法

1．定义：向量a减向量b等于向量a加上向量b的________向量，即a－b＝a＋(－b)．

2．几何意义：如图，设＝a，＝b，故a－b＝，则a－b＝a＋(－b)＝＋＝＋＝，即a－b表示为从向量________指向被减向量________的向量．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两个向量的差仍是一个向量．(　　)

(2)＝－.(　　)

(3)a－b的相反向量是b－a.(　　)

(4)两个同向向量的差一定小于这两个向量的和．(　　)

2．[多选题]下列等式中正确的是(　　)

A．a－b＝b－a  B．0－a＝－a

C．－(－a)＝a  D．a＋(－a)＝0

3．在△ABC中，＝a，＝b，则＝(　　)

A．a＋b　　　B．a－b  C．b－a　　　D．－a－b

4．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则可用a，b，c表示为________．

题型一　向量的加减运算——自主完成

1．下列四式不能化简为的是(　　)

A.＋－  B．(＋)＋(＋)

C．(＋)＋  D.－＋

2．化简下列各式：

(1)(＋)＋(－－)；

(2)－－.

方法归纳

向量加、减法运算的基本方法

(1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)；

(2)运用减法公式－＝(正用或逆用均可)；

(3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题．

题型二　用已知向量表示未知向量——师生共研

灵活运用三角形法则或平行四边形法则．

例1　如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，.

方法归纳

解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量的加法、减法以及共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用三角形法则时，要注意两个向量起点的位置，当两个向量共起点时，可以考虑向量的减法．

常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即 ＝ ＋ 以及 ＝ －(M，N均是与在同一平面内的任意点)．

跟踪训练1　如图，解答下列各题：

(1)用a，d，e表示；

(2)用b，c表示；

(3)用a，b，e表示；

(4)用d，c表示.

题型三　向量加减法的综合应用——师生共研

例2　如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，用向量a，b表示、，并回答下面几个问题．

(1)当a、b满足什么条件时，AC⊥BD?

(2)当▱ABCD满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?

变式探究　将本例中的条件改为“▱ABCD中，∠ABC＝60°，＝a，＝b，若|a|＝|a＋b|＝2”，求|a－b|的值．

方法归纳

(1)平行四边形中有关向量的以下结论，在解题中可以直接使用：①对角线的平方和等于四边的平方和，即|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)；②若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形．

(2)一般将向量放在具体的几何图形中，常见的有三角形、四边形(平行四边形、矩形、菱形)及正六边形等．

跟踪训练2　设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)

A．8  B．4

C．2  D．1

易错辨析　对向量加、减法的几何意义理解不透致误

例3　[多选题]如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是(　　)

A.＋＝  B.＋＝0

C.－＝  D.＋＝

解析：＋＝，A正确；＋＝0≠0，B错误；－＝＋＝，C正确；＋＝＝，D错误．故选AC.

答案：AC

易错警示

2．2　向量的减法

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点

1．相反

2．b的终点B　a的终点A

[基础自测]

1．(1)√　(2)√　(3)√　(4)×

2．解析：由向量的减法及其几何意义，得a－b＝－(b－a)，A错误；B、C正确；a＋(－a)＝0≠0，D错误．故选BC.

答案：BC

3．解析：＝－＝b－a.故选C.

答案：C

4．解析：＝－＝＋－＝a－b＋c.

答案：a－b＋c

题型探究·课堂解透

题型一

1．解析：对于A，原式＝＋＋＝2＋；

对于B，原式＝＋(＋)＋＝＋＋＝；

对于C，原式＝(＋)＋＝＋＝；

对于D，原式＝＋＝.故选A.

答案：A

2．解析：(1)解法1：原式＝＋＋＋

＝(＋)＋(＋)

＝＋＝.

解法2：原式＝＋＋＋

＝＋(＋)＋

＝＋＋

＝＋0＝.

解法3：原式＝(－)＋(－)－－

＝－＋－－＋

＝－＝.

(2)解法1：原式＝－＝.

解法2：原式＝－(＋)＝－＝.

解法3：设O是平面内任一点，

则原式＝(－)－(－)－(－)

＝－－＋－＋

＝－＝.

题型二

例1　解析：∵四边形ACDE为平行四边形，

∴＝＝c，＝－＝b－a，

∴＝＋＝b－a＋c，＝－＝c－a，＝－＝c－b.

跟踪训练1　解析：由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则

(1)＝＋＋＝a＋d＋e.

(2)＝－＝－－＝－b－c.

(3)＝＋＋＝a＋b＋e.

(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.

题型三

例2　解析：∵＝a，＝b，∴＝a＋b，＝a－b.

(1)当|a|＝|b|时，▱ABCD为菱形，因为菱形的对角线互相垂直，故此时有AC⊥BD.

(2)当▱ABCD为长方形时，因为长方形的对角线相等，所以|a＋b|＝|a－b|.

变式探究　解析：依题意，||＝|a＋b|＝2，如图所示．

而||＝|a|＝2.

∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴BC＝AB.

∴▱ABCD为菱形，AC⊥BD.

∴三角形ABO是直角三角形，∠ABO＝30°，

∵AB＝2，AO＝AC＝1，

∴BO＝，

∴BD＝2BO＝2，∴|a－b|＝BD＝2.

跟踪训练2　解析：以，为邻边作平行四边形ACDB，则由向量加、减法的几何意义可知＝＋，＝－.因为|＋|＝|－|，所以||＝||.

又四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB.

则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，||＝||＝2.

答案：C