北师大版 (2019)必修 第二册3.2 向量的数乘与向量共线的关系课文内容课件ppt

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3．2　向量的数乘与向量共线的关系 [教材要点]要点一　共线(平行)向量基本定理给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使________．　向量共线定理的理解注意点及主要应用(1)定理中≠不能漏掉. 若＝＝，则实数λ可以是任意实数；若＝，≠，则不存在实数λ，使得＝λ.(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s＝，则必有t＝s＝0.要点二　直线的向量表示通常可以用＝t表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的________向量．[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa.(　　)(2)若＝3，则与共线．(　　)(3)一个点A和一个非零向量可以唯一确定过点A与向量平行的直线l.(　　)(4)若点P是AB的中点，点O为直线AB外一点，则＝(＋)．(　　)2．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是(　　)  A．平行四边形  B．菱形C．梯形  D．矩形3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)A．A，B，D  B．A，B，CC．B，C，D  D．A，C，D4．下列向量中，a，b一定共线的有________．(填序号)①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2；b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2. 题型一　向量共线的判定——自主完成判断下列各小题中的向量a，b是否共线(其中e1，e2是两个不共线向量)．(1)a＝5e1，b＝－10e1；(2)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；(3)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.                     　向量共线的判定一般是用其判定定理，即是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得＝λ，则向量与非零向量共线．解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线．题型二　证明三点共线——师生共研例1　已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．            变式探究1　将本例中条件改为“a，b是不共线的两非零向量，＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b”，证明A、B、C三点共线．    
方法归纳三点共线的证明问题及求解思路1．证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．2．若A，B，C三点共线，则向量，，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据．  跟踪训练1　已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则(　　)A．A，B，C三点共线  B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线  D．B，C，D三点共线题型三　由三点共线求参数的值——师生共研例2　(1)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　)A.  B.C．－  D．－(2)已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2与e1＋ke2共线，试确定实数k的值．           变式探究2　将本例(2)中的条件改为“若a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同”，问当实数t为何值时a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一直线上？              方法归纳利用向量共线求参数，一种类型是利用向量加法、减法及数乘运算表示出相关向量，从而求得参数，另一种类型是利用三点共线建立方程求解参数．   跟踪训练2　如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)A.  B.C.  D.易错辨析　忽视向量共线的方向出错例3　设两向量e1，e2不共线，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2共线，求实数t的值．解析：∵向量2te1＋7e2与向量e1＋te2共线，∴存在实数λ，使得2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，即2t＝λ，且7＝λt，解得t＝±.故所求实数t的值为±.易错警示易错原因纠错心得忽视两非零向量反向共线的情况而漏掉一解.向量共线应分同向与反向两种情况.                  3．2　向量的数乘与向量共线的关系新知初探·课前预习[教材要点]要点一a＝λb要点二方向[基础自测]1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．解析：因为＝－，所以AB∥CD，且AB＝CD，所以四边形ABCD为梯形．故选C.答案：C3．解析：＋＋＝a＋2b＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝＝3.所以A，B，D三点共线．答案：A4．解析：①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－e2＝4(e1－e2)＝4b；④中，当e1，e2不共线时，a≠λb，故①②③中a与b共线．答案：①②③题型探究·课堂解透题型一解析：(1)∵b＝－2a，∴a与b共线．(2)∵a＝b，∴a与b共线．(3)设a＝λb，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，∴(1－3λ)e1＝－(1＋3λ)e2.∵e1与e2是两个不共线向量，∴这样的λ不存在，因此a与b不共线．题型二例1　解析：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，∴＝－＝e1－4e2.又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴＝2，∴∥.∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．变式探究1　证明：∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2(a＋2b)＝－2∴与共线，且有公共点，∴A，B，C三点共线．跟踪训练1　解析：∵＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，且与有公共点B，∴A，B，D三点共线．故选B.答案：B题型三例2　解析：(1)方法一　由＝2得－＝2(－)，即＝＋，所以λ＝.方法二　因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝.(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于e1与e2不共线∴∴k＝±1.答案：(1)A　(2)见解析变式探究2　解析：由题意知，存在唯一实数λ，使a－tb＝λ，整理得a＝b，∵a与b不共线，∴∴故当t＝时，三向量的终点共线．跟踪训练2　解析：由题意可得＝5，则＝m＋×5＝m＋.因为B，N，P三点共线，所以m＋＝1，即m＝.答案：D