人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词优秀教案

专题1  命题形式变化及真假判定

一、基础知识：

（一）命题结构变换

1、四类命题间的互化：设原命题为“若，则”的形式，则

（1）否命题：“若，则”

（2）逆命题：“若，则”

（3）逆否命题：“若，则”

2、，

（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为

（2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为

3、命题的否定：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法

（1）一些常用词的“否定”：是→不是     全是→不全是    至少一个→都没有

                          至多个→至少个    小于→大于等于

（2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时均变为：

或→且     且→或

（3）全称命题与存在性命题的否定

全称命题：

存在性命题：

规律为：两变一不变

① 两变：量词对应发生变化（），条件要进行否定

② 一不变：所属的原集合的不变化

（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联。

1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同。而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联

2、，，如下列真值表所示：

简而言之“一真则真”                       简而言之“一假则假”

3、：与命题真假相反。

4、全称命题：

真：要证明每一个中的元素均可使命题成立

假：只需举出一个反例即可

5、存在性命题：

真：只需在举出一个使命题成立的元素即可

假：要证明中所有的元素均不能使命题成立

二、典型例题

例1：命题“若方程的两根均大于，则”的逆否命题是（    ）

A. “若，则方程的两根均大于”

B. “若方程的两根均不大于，则”

C. “若，则方程的两根均不大于”

D. “若，则方程的两根不全大于”

思路：所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，“”的对立面是“”，“均大于”的对立面是“不全大于0”（注意不是：都不大于0），再调换顺序即可，D选项正确

答案：D

例2：命题“存在”的否定是（    ）

A． 存在     B．不存在

C． 对任意   D．对任意

思路：存在性命题的否定：要将量词变为“任意”，语句对应变化，但所在集合不变。所以变化后的命题为：“对任意”

答案：D

例3：给出下列三个结论

（1）若命题为假命题，命题为假命题，则命题“”为假命题

（2）命题“若，则或”的否命题为“若，则或”

（3）命题“”的否定是“”，则以上结论正确的个数为（   ）

A.  3               B.  2            C.  1              D.  0

思路：（1）中要判断的真假，则需要判断各自的真值情况，为假命题，则为真命题，所以一假一真，为真命题，（1）错误

（2）“若……，则……”命题的否命题要将条件和结论均要否定，而（2）中对“或”的否定应该为“且”，所以（2）错误

（3）全称命题的否定，要改变量词和语句，且的范围不变。而（3）的改写符合要求，所以（3）正确

综上只有（3）是正确的

答案：C

例4 ：有下列四个命题

① “若，则互为相反数”的逆命题

② “全等三角形的面积相等”的否命题

③ “若，则有实根”的逆否命题

④ “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题

其中真命题为（      ）

A.  ①②              B.②③               C. ①③              D. ③④

思路：①中的逆命题为“若互为相反数，则”，为真命题。②中的否命题为“如果两个三角形不是全等三角形，则它们的面积不相等”，为假命题（同底等高即可）。③中若要判断逆否命题的真假，则只需判断原命题即可。时，判别式，故方程有实根。所以原命题为真命题，进而其逆否命题也为真命题。④中的逆命题为“如果一个三角形三个内角相等，则它为不等边三角形”显然是假命题。综上，①③正确

答案：C

小炼有话说：在判断四类命题的真假时，如果在写命题或判断真假上不好处理，则可以考虑其对应的逆否命题，然后利用原命题与逆否命题同真同假的特点进行求解

例5：下列命题中正确的是（    ）

A. 命题“，使得”的否定是“，均有”

B. 命题“若，则”的否命题是“若，则”

C. 命题“存在四边相等的四边形不是正方形”，该命题是假命题

D. 命题“若，则”的逆否命题是真命题

思路：分别判断4个选项的情况，A选项命题的否定应为“，均有”，B选型否命题的形式是正确的，即条件结论均否定。C选项的命题是正确的，菱形即满足条件，D选项由原命题与逆否命题真假相同，从而可判断原命题的真假，原命题是假的，例如终边相同的角余弦值相同，所以逆否命题也为假命题。D错误

答案：B

例6：如果命题“且”是假命题，“”也是假命题，则（     ）

A. 命题“或”是假命题            B. 命题“或”是假命题

C. 命题“且”是真命题            D. 命题“且”是真命题

思路：涉及到“或”命题与“且”命题的真假，在判断或利用条件时通常先判断每个命题的真假，再根据真值表进行判断。题目中以为入手点，可得是真命题，而因为且是假命题，所以只能是假命题。进而是真命题。由此可判断出各个选项的真假：只有C的判断是正确的

答案：C

例7：已知命题：若，则；命题：若，则，在命题①；②；③；④ 中，真命题是（     ）

A. ①③              B. ①④            C. ②③              D. ②④

思路：可先判断出的真假，从而确定出复合命题的情况。命题符合不等式性质，正确，而命题是错的。所以①是假的，②是真的，③④中，因为为假，为真，所以③正确，④不正确。综上可确定选项D正确

答案：D

例8：下列4个命题中，其中的真命题是（     ）

A.            B.          C.              D.

思路：为存在性命题，所以只要找到符合条件的即可。可作出的图像，通过观察发现找不到符合条件的；同样作图可得，所以正确；通过作图可发现图像中有一部分，所以错误；在中，可得当时，，所以，正确。综上可得：正确

答案：D

小炼有话说：（1）在判断存在性命题与全称命题的真假，可通过找例子（正例或反例）来进行简单的判断，如果找不到合适的例子，则要尝试利用常规方法证明或判定

（2）本题考察了指对数比较大小，要选择正确的方法（中间桥梁，函数性质，数形结合）进行处理，例如本题中运用的数形结合，而通过选择中间量判断。

例9：已知命题，命题，若为假命题，则实数的取值范围是（     ）

A.            B. 或      C.       D.

思路：因为为假命题，所以可得均为假命题。则为真命题。。解决这两个不等式能成立与恒成立问题即可。

解：为假命题

均为假命题  

为真命题

对于

当时，    

对于，设，由图像可知：若成立，则 ，解得：或

所以综上所述：

小炼有话说：因为我们平日做题都是以真命题为前提处理，所以在逻辑中遇到已知条件是假命题时，可以考虑先写出命题的否定，根据真值表得到命题的否定为真，从而就转化为熟悉的形式以便于求解

例10：设命题函数的定义域为；命题，不等式恒成立，如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围

思路：由“”为真命题可得至少有一个为真，由“”为假命题可得至少有一个为假。两种情况同时存在时，只能说明是一真一假。所以分为假真与真假进行讨论即可

解： 命题“”为真命题，且“”为假命题

一真一假

若假真，则函数的定义域不为

恒成立

或

若真假，则函数的定义域为

或

，不等式

解得

综上所述：

三、近年模拟题题目精选：

1、已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是（    ）

A.               B.            C.             D. 

2、下列有关命题的叙述:

① 若为真命题，则为真命题

② “”是“”的充分不必要条件

③ 命题，使得，则，使得

④ 命题：“若，则或”的逆否命题为：“若或，则”

其中错误命题的个数为（      ）

A．1                  B．2               C．3   　          D．4

3、已知命题，命题，则（    ）

A. 命题是假命题             B. 命题是真命题

C. 命题是假命题               D. 命题是真命题

4、（2014新津中学三月月考，6）已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（     ）

A.           B.        C.             D. 

5、（2014 新课标全国卷I）不等式组：的解集记为，有下面四个命题：

其中真命题是（     ）

A.             B.           C.             D. 

习题答案：

1、答案：C

解析：分别判断真假，令，可得 由零点存在性定理可知，使得，为真；通过作图可判断出当时，，故为假；结合选项可得：为真

2、答案：B

解析：判断每个命题：①若真假，则为真命题，为假命题，故①错误；② 不等式的解为或，由命题所对应的集合关系可判断出②正确；③ 存在性命题的否定，形式上更改符合“两变一不变”，故③正确；④ “或”的否定应为“且”，故④错误，所以选择B

3、答案：B

解析：对于：当时，，故正确；对于：因为，所以当时，，故错误，结合选项可知是真命题

4、答案：C

解析：命题的否定为：“，使得”，此为真命题，所以转为恒成立问题，利用二次函数图像可得： ，解得

5、答案：C

解析：由已知条件作出可行域，并根据选项分别作出相应直线，观察图像可知：阴影部分恒在的上方，所以成立；且阴影区域中有在中的点，所以成立，综上可得：正确