高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质获奖教学设计

专题39  传统不等式的解法

一、基础知识

1、一元二次不等式：

   可考虑将左边视为一个二次函数，作出图像，再找出轴上方的部分即可——关键点：图像与轴的交点

2、高次不等式

（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于的表达式为，不等式为）

①求出的根

② 在数轴上依次标出根

③ 从数轴的右上方开始，从右向左画。如同穿针引线穿过每一个根

④ 观察图像， 寻找轴上方的部分

             寻找轴下方的部分

（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式

3、分式不等式

（1）将分母含有的表达式称为分式，即为的形式

（2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即

（3）对形如的不等式，可根据符号特征得到只需 同号即可，所以将分式不等式转化为 （化商为积），进而转化为整式不等式求解

4、含有绝对值的不等式

（1）绝对值的属性：非负性

（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方

（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：

① 的解集与或的解集相同

② 的解集与的解集相同

（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理

5、指对数不等式的解法：

（1）先讲一个不等式性质与函数的故事

    在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析，例如：，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上），将相同的变换视为一个函数，即设，则，因为为增函数，所以可得：，即成立，再例如： ，可设函数，可知时，为增函数，时，为减函数，即

   由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性。增函数→不变号，减函数→变号

    在这种想法的支持下，我们可以对不等式的变形加以扩展，例如：，则的关系如何？设，可知的单调减区间为，由此可判断出：当 同号时，

（2）指对数不等式：解指对数不等式，我们也考虑将其转化为整式不等式求解，那么在指对数变换的过程中，不等号的方向是否变号呢？先来回顾指对数函数的性质：无论是还是，其单调性只与底数有关：当时，函数均为增函数，当时，函数均为减函数，由此便可知，不等号是否发生改变取决于底数与1的大小，规律如下：

时，

时，

进而依据这两条便可将指对不等式转化为整式不等式求解了

（3）对于对数的两个补充

① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当时，

② 如何将常数转化为某个底的对数。可活用“1”：因为，可作为转换的桥梁

例如：？  

   某些不等式虽然表面形式复杂，但如果把其中一部分视为一个整体，则可对表达式进行简化，进而解决问题，例如：，可将为视为一个整体，令，则，则不等式变为，，两边可同取以2为底对数

6、利用换元法解不等式

（1）换元：属于化归时常用的一种方法，本质是研究对象的选取，不受题目所给字母的限制，而是选择合适的对象能把陌生问题进行化归，转化为能够解决的问题。如上一个例子中，通过将视为整体，从而将不等式转化为一元二次不等式进行求解

（2）在换元的过程中，用新字母代替原来的字母和式子，将问题转化为新字母的问题，从而要先了解新字母的取值范围。即若换元，则先考虑新元的初始范围

（3）利用换元法解不等式的步骤通常为：

①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体

②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式

③解出新元的范围

④在根据新元的范围解的范围

二、典型例题：

例1：解下列一元二次不等式：

（1）              （2）

（3）              （4）

解（1）

即与轴的交点为

由图像可得满足的的范围为

不等式的解集为

（2） 令，则 可解得：

作图观察可得：或

不等式的解集为

（3）令，则中，

则与轴无公共点，即恒在轴上方，

注：由（1）（2）我们发现，只要是，开口向上的抛物线与轴相交，其图像都是类似的，在小大根之间的部分，在小大根之外的部分，发现这个规律，在解一元二次不等式时便有了更为简便的口诀

① 让最高次项系数为正

② 解的方程，若方程有解，则的解集为小大根之外，的解集为小大根之间，若方程无解，则作出图像观察即可

（4）解：先将最高次项系数变为正数：

方程的根为

不等式的解集为

例2：解下列高次不等式：（1）

                      （2）

（1）解：

则的根

作图可得： 或

不等式的解集为

（2）思路：可知，所以只要，则恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解 ，可得且

不等式的解集为

小炼有话说：在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可。

穿根法的原理：它的实质是利用图像帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图像中的数轴分为上下两个部分，上面为 的部分，下方为的部分。以例2（1）为例，当时，每一个因式均大于0，从而整个的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时的符号一定为正），当经过 时，由正变负，而其余的式子符号未变，所以的符号发生一次改变，在图像上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，的符号再次发生改变，曲线也就跑到 轴上方来了。所以图像的“穿根引线”的实质是在经历每一个根时，式子符号的交替变化。

例3：解下列分式不等式：（1）       （2）

解：（1）不等式等价于

不等式的解集为

（2）不等式等价于

解得： 

 不等式的解集为

例4：（1）                      （2）

     （3）

   分式不等式在分母符号不定的情况下，千万不要用去分母的方式变形不等式（涉及到不等号方向是否改变），通常是通过移项，通分，将其转化为再进行求解

解：（1）

或

不等式的解集为

（2）

不等式的解集为

（3）思路：观察发现分母很成立，所以考虑直接去分母，不等号的方向也不会改变，这样直接就化为整式不等式求解了

解：

不等式的解集为

例5：解不等式：

（1）                      （2）

解：（1）方法一：

所解不等式可转化为

方法二：观察到若要使得不等式成立，则，进而内部恒为正数，绝对值直接去掉，即只需解即可。解得

不等式的解集为

（2）思路：观察可发现不等号左右两端式子相同，一个数的绝对值大于它本身，则这个数一定是负数，所以直接可得：

不等式的解集为

小炼有话说：含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法

例6：解不等式：（1）            （2）

解：（1）含多个绝对值的问题，可通过“零点分段法”来进行分类讨论

令两个绝对值分别为零，解得：，作出数轴，将数轴分为三部分，分类讨论

①  不等式变为  

②时，不等式变为  时不等式均成立

③ 不等式变为

综上所述：不等式的解集为

小炼有话说：零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性

（2）思路：本题依然可以仿照（1）的方式进行零点分段，再解不等式，但从另一个角度观察，所解不等式为，两边均是绝对值（非负数），所以还可以考虑两边平方（所用不等式性质：）一次将两个绝对值去掉，再进行求解。

解：

不等式的解集为

例7：解下列不等式：

（1）              （2）

（3）           （4）

解：（1）           （2）

     或               

不等式的解集为  不等式的解集为

 （3）        

   或  

不等式的解集为

（4）

或

可解得：

不等式的解集为

例8：解下列不等式：

（1）          （2）

（3）       （4）

（1）思路：，从而可将视为一个整体，则所解不等式可看做关于的二次不等式，解出的范围，再反求的范围即可

解：

   令

      即

不等式的解集为

（2）思路：观察到不等式左侧的两项存在真数底数互换位置的特点，联想到对数公式：，从而选择一项进行变形（比如选择)，再将视为一个整体解不等式，解出的范围后进而求出的范围

解：

令  

不等式转化为：

或，即或

可解得：或 

（3）

令  不等式转化为：

即

不等式的解集为

（4）思路：所解不等式等价于，本题可以考虑对的符号进行讨论，从而去掉绝对值解出不等式。但从另一方面，可发现，从而所解不等式转化为：

，将视为一个整体，先解出范围，进而解出的范围

解：

  令，所解不等式转化为

即   即

或

不等式的解集为

例9：已知不等式的解集为，则___，____

思路：所解不等式，即，观察可得只要让第二个不等式成立，则第一个一定成立。所以只需解。由已知可得此不等式的解集为，则为的两根，代入解得，再解得

答案：

小炼有话说：解多个同时成立的不等式时，不妨观察它们之间是否存在“替代”关系，从而简化所解不等式的个数

例10：已知不等式的解集为，则的取值范围是________

思路：所给条件等价于的解集为，即的解集为，由此可得： 解得：

答案：