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    专题34 向量的模长问题几何法(讲义),(对新课重难点内容进行提升和巩固),人教版,(有解析)教案

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    人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用精品教案

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用精品教案,共7页。教案主要包含了基础知识,典型例题等内容,欢迎下载使用。
    www.ks5u.com专题34  向量的模长问题——几何法一、基础知识:1、向量和差的几何意义:已知向量,则有:(1)若共起点,则利用平行四边形法则求,可得是以为邻边的平行四边形的对角线(2)若首尾相接,则利用三角形法则求出,可得围成一个三角形2、向量数乘的几何意义:对于(1)共线(平行)特点:为共线向量,其中时,同向;时,反向(2)模长关系:3、与向量模长问题相关的定理:(1)三角形中的相关定理:设三个内角所对的边为 正弦定理: 余弦定理:(2)菱形:对角线垂直平分,且为内角的角平分线特别的,对于底角的菱形,其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。(3)矩形:若四边形的平行四边形,则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件:条件中的向量运算可构成特殊的几何图形,且所求向量与几何图形中的某条线段相关,则可考虑利用条件中的几何知识处理模长二、典型例题:例1:已知向量的夹角为      A.             B.             C.              D. 思路:本题利用几何图形可解,运用向量加减运算作出如下图形:可知只需利用余弦定理求出 即可解:如图可得: 即: 解得所以答案 2:若平面向量两两所成的角相等等于     A.                B.               C.           D. 思路:首先由两两所成的角相等可判断出存在两种情况:一是同向(如图1,此时夹角均为0),则 ,另一种情况为两两夹角 如图2),以为突破口,由平行四边形法则作图得到夹角相等底角为的菱形性质),且与反向进而由图得到,选C答案:C    例3:已知向量的取值范围是     A.               B.              C.              D.  思路:先作出有向线段考虑的起点与重合,终点旋转且即为的长度通过观察可得共线时达到最值所以,且连续变化所以的取值范围是 答案:C   例4:设是两个非零向量_______思路:可知为平行四边形的一组邻边和一条对角线可知满足条件的只能是底角为边长 的菱形从而可求出另一条对角线的长度为 答案:  5:已知为平面向量,若的夹角为的夹角为,则   A.             B.              C.            D.  思路:可知为平行四边形的一组邻边及对角线通过作图和平行四边形性质得由正弦定理可得答案:D6:已知是单位向量,且的夹角为,若向量满足,则的最大值为    A.            B.           C.             D.思路:本题已知模长且夹角特殊,通过作图可得为模长为,设,则可得,而可视为以共起点,终点在以起点为圆心,2为半径的圆上。通过数形结合可得的最大值为(此时的终点位于点)答案:A例7:在的中点所在平面内的一点的值是    A.          B.          C.         D.  思路:本题的关键在于确定点的位置从而将与已知线段找到联系考虑变形为三点共线,所以由平行四边形性质可得 答案:B例8:已知向量对任意的恒有的值为________思路:本题以作为突破口通过作图设为直线上一点则有。从而可得所以点为直线上到距离最短的线段由平面几何知识可得最短的线段为的垂线段所以所以有答案:0小炼有话说:本题若用图形解决,找到在图上的位置和两个向量的联系是关键 例9:已知平面向量满足,且,若向量的夹角为,则的最大值是_________思路:由条件可得夹角的余弦值,若用代数方法处理夹角的条件,则运算量较大。所以考虑利用图形,设,则,即,从而,可判定四点共圆,则的最大值为四边形外接圆的直径,即的直径。在中,由余弦定理可得:,所以,由正弦定理可得:,即答案:小炼有话说:若条件中向量的夹角为特殊角且很难用数量积,模长进行计算时,可考虑寻找几何图形进行求解。例10:(2010年,浙江,16)已知平面向量满足 的夹角为的取值范围是___________思路:本题很难找到与数量积相关的条件,那么考虑利用图形辅助求解。从图中可观察到构成从而可利用正余弦定理求出的取值范围解:在由正弦定理可得     答案的取值范围是 小炼有话说例题中的部分问题也可采用模长平方的方式,从而转化成为数量积求解。具体解法如下:例1:解:,解得例2:解:夹角相同同向时,可得,所以两两夹角时,可得,所以综上所述:例3:解:因为   例4:解:可得代入    例8:解:以为原点,轴建立直角坐标系。所以,设,则,由可得:,所以因为中点  例9:解:恒成立,所以 

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