高考数学一轮复习 2.8考点2 函数零点应用练习题

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考点2 函数零点应用
（2018·浙江卷）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则x＋y＋z＝100,5x＋3y＋13z＝100,当z＝81时，x＝________，y＝________.
【解析】方法一 由题意，得x＋y＋81＝100,5x＋3y＋13×81＝100,
即x＋y＝19,5x＋3y＝73,解得x＝8,y＝11.
方法二 100－81＝19（只），
81÷3＝27（元），
100－27＝73（元）．
假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则
5×19＝95（元）．
因为95－73＝22（元），
所以鸡母：22÷（5－3）＝11（只），
鸡翁：19－11＝8（只）．
【答案】8 11
（2018·浙江卷）已知λ∈R，函数f（x）＝x－4，x≥λ,x2－4x＋3,x＜λ.当λ＝2时，不等式f（x）＜0的解集是________．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
【解析】当λ＝2时，f（x）＝x－4，x≥2,x2－4x＋3,x＜2.
其图象如图（1）．
由图知f（x）＜0的解集为（1,4）．
f（x）＝x－4，x≥λ,x2－4x＋3,x＜λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．
在同一平面直角坐标系中画出y1＝x－4与y2＝x2－4x＋3的图象，如图（2），平移直线x＝λ，可得λ∈（1,3]∪（4，＋∞）．
【答案】（1,4） （1,3]∪（4，＋∞）
（2018·天津卷（文））已知a∈R，函数f（x）＝x2＋2x＋a-2,x≤0,－x2＋2x－2a,x＞0.若对任意x∈[－3，＋∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是________．
【解析】如图所示，
若对任意x∈[－3，＋∞），要使函数y＝f（x）的图象恒在y＝|x|图象的下方，则必有f－3≤3,①f(0)≤0,②
且在（0，＋∞）内直线y＝x与y＝－x2＋2x－2a相切或相离，所以x＝－x2＋2x－2a有两个相等实根或无实根，即对于方程x2－x＋2a＝0，
Δ＝（－1）2－4×2a≤0，解得a≥18.
由①②得9－6＋a－2≤3且a－2≤0，所以a≤2.
综上，18≤a≤2.
【答案】18,2
（2018·天津卷（文））设函数f（x）＝（x－t1）（x－t2）（x－t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．
（1）若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若d＝3，求f（x）的极值；
（2）若曲线y＝f（x）与直线y＝－（x－t2）－63有三个互异的公共点，求d的取值范围．
【解析】（1）由已知，可得f（x）＝x（x－1）（x＋1）＝x3－x，
故f′（x）＝3x2－1.因此f（0）＝0，f′（0）＝－1.
又因为曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y－f（0）＝f′（0）（x－0），故所求切线方程为x＋y＝0.
（2）由已知可得
f（x）＝（x－t2＋3）（x－t2）（x－t2－3）
＝（x－t2）3－9（x－t2）
＝x3－3t2x2＋（3t22－9）x－t23＋9t2.
故f′（x）＝3x2－6t2x＋3t22－9.
令f′（x）＝0，解得x＝t2－3或x＝t2＋3.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
所以函数f（x）的极大值为f（t2－3）＝（－3）3－9×（－3）＝63，
函数f（x）的极小值为f（t2＋3）＝（3）3－9×3＝－63.
（3）曲线y＝f（x）与直线y＝－（x－t2）－63有三个互异的公共点等价于关于x的方程（x－t2＋d）（x－t2）·（x－t2－d）＋（x－t2）＋63＝0有三个互异的实数解．
令u＝x－t2，可得u3＋（1－d2）u＋63＝0.
设函数g（x）＝x3＋（1－d2）x＋63，则曲线y＝f（x）与直线y＝－（x－t2）－63有三个互异的公共点等价于函数y＝g（x）有三个零点．
g′（x）＝3x2＋（1－d2）．
当d2≤1时，g′（x）≥0，这时g（x）在R上单调递增，不合题意．
当d2＞1时，
令g′（x）＝0，解得x1＝－d2-13，x2＝d2-13.
可得，g（x）在（－∞，x1）上单调递增，在[x1，x2]上单调递减，在（x2，＋∞）上单调递增．
所以g（x）的极大值为
g（x1）＝g-d2-13＝23(d2-1)329＋63＞0.
g（x）的极小值为g（x2）＝gd2-13＝－23(d2-1)329＋63.
若g（x2）≥0，则由g（x）的单调性可知函数y＝g（x）至多有两个零点，不合题意．
若g（x2）＜0，即（d2－1）32＞27，也就是|d|＞10，此时|d|＞x2，g（|d|）＝|d|＋63＞0，且－2|d|＜x1，
g（－2|d|）＝－6|d|3－2|d|＋63＜－6210＋63＜0，从而由g（x）的单调性，可知函数y＝g（x）在区间（－2|d|，x1），（x1，x2），（x2，|d|）内各有一个零点，符合题意．
所以d的取值范围是（－∞，－10）∪（10，＋∞）．
【答案】见解析