数学7.1 复数的概念获奖教案

这是一份数学7.1 复数的概念获奖教案，共13页。

知识点一 复平面的概念和复数的几何意义
1.复平面的概念
根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数的几何意义
按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义.
3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量eq \(OZ,\s\up6(→))由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量eq \(OZ,\s\up6(→))唯一确定.因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))，这是复数的另一种几何意义.
思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？
(2)象限内的点与复数有何对应关系？
答案 (1)不是.
(2)第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；
第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；
第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；
第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负.
知识点二 复数的模
1.如图所示，向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.如果b＝0，
那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，r∈R).
2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则
(1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z1,z2)))＝eq \f(|z1|,|z2|)(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到).
(2)|zeq \\al(n,1)|＝|z1|n(n∈N*).
(3)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(|z1|－|z2|))≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线；②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线.
(4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线；②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线.
思考 复数的模的几何意义是什么？
答案 复数z在复平面内对应的点为Z，复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个大于0的常数，则：
①满足条件|z|＝r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|＜r表示圆的内部，|z|＞r表示圆的外部；
②满足条件|z－z0|＝r的点Z的轨迹为以Z0为圆心，r为半径的圆，|z－z0|＜r表示圆的内部，|z－z0|＞r表示圆的外部.
题型一 复数与复平面内的点
例1 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围.
解 复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.
(1)由题意得m2－2m－8＝0.
解得m＝－2或m＝4.
(2)由题意，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m－8＜0，,m2＋3m－10＞0，))∴2