人教版八年级上册14.2.1 平方差公式教学设计及反思

这是一份人教版八年级上册14.2.1 平方差公式教学设计及反思，共7页。教案主要包含了内容和内容解析，目标和目标解析，教学问题诊断分析，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。

（一）内容
本节课节选自人教版八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》第二节，主要内容为平方差公式。
（二）内容解析
某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式。当遇到特殊形式的多项式相乘时，可以直接运用公式写出结果。平方差公式是多项式的乘法公式的一种，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。平方差公式也是因式分解中公式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用。
平方差公式的符号表示和语言表述揭示了公式的结构特征。公式( a + b) ( a – b ) = a2 – b2中的字母a, b可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。平方差公式的得出，以多项式乘法与合并同类项的知识为基础，从一般形 式的整式乘法运算到对特殊形式的乘法运算概括出乘法公式，体现了一般到特殊的思想方法。探索平方差公式的过程，从具体的具有特殊形式的几组多项式乘法的运算结果中，通过观察、比较，抽象概括出一般的形式，并通过符号推理获得公式的符号表示及语言表述，体现了从具体到抽象地研究问题方法。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：平方差公式。
二、目标和目标解析
（一）目标
1. 会推导平方差公式，并了解公式的几何意义；
2. 掌握平方差公式的结构特征并理解公式中字母的广泛含义，能够灵活运用平方差公式进行计算；
3. 在探索平方差公式的过程中，感知数形结合的思想。
（二）目标与目标解析
达成目标1的标志是：通过动手操作、小组合作探究，学生们能够实现通过多种形式的面积分割法来验证平方差公式，从这一过程中体会平方差公式的几何意义。
达成目标2的标志是：学生知道由多项式乘法到平方差公式是一般到特殊的过程，能根据多项式的乘法法则推导出平方差公式，理解平方差公式的基本结构与特征，会用符号表示公式，能用文字语言表述公式内容。在字母表示具体的数、单项式、多项式时能正确地运用公式进行计算。
达成目标3的标志是：学生在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解验证平方差公式的具体方法，感知数形结合的思想。
三、教学问题诊断分析
由于公式( a + b) ( a – b ) = a2 – b2中的a，b本身可能为负数，而且a，b可以是具体的数、 单项式、多项式等，情况比较复杂，这对于初次接触平方差公式的学生来说，找准哪个数或式相当于公式中的“第一个数”a，哪个数或式相当于公式中的“第二个数”b，有时会有困难。作为平方差公式的应用，教科书引人对两个数乘积的简捷计算，将两个因数分解成两个数的和与这两个数的差，而且这两个数的平方容易计算是解题的关键，这一内容对一部分学生来说，也有一定难度，解决上述两个问题的关键是理解平方差公式的结构特征，解决问题时要回到公式本身上来。
基于以上分析，确定本节课的教学难点：平方差公式的变式运用。
四、教学过程设计
（一）复习回顾，引入新课
请同学们说一说上节课是如何研究完全平方公式的？
设计意图：平方差公式的研究思路和研究方法与完全平方公式基本相同，通过回顾完全平方公式的研究思路和研究方法，可以使学生能够顺利地将其迁移到本节课的学习中。
（二）合作学习，探究新知
活动1：规律探究：请你根据多项式与多项式相乘的法则计算下列多项式的积
① (3x + 2) (x – 2)
② (2x + 2) (2x – 1)
③ (x +1) (x – 1)
④ (m + 2) (m – 2)
⑤ (2x + 3) (2x – 3)
教师提出要求：学生进行计算，在此过程中观察五组等式的特征，并对其进行分类
三分钟后请两位学生回答，教师在学生回答后适时提问：分组依据是什么？
设计意图：学生基于多项式的乘法法则进行计算，一方面进一步熟悉多项式的乘法法则，另一方面从计算过程中体会特殊的多项式相乘存在一定的规律。
基于学生的分组情况，一起得出要研究以下三组等式
(x + 1) (x–1)= x2–1
(m + 2) (m–2=)m2–4
(2x + 3) (2x–3)= 4x2–9
分别请两位同学回答：1. 等号右侧的式子有何共同特征；2. 等号右侧的式子有何共同特征？
等号右侧的两项与左侧的前两个数有何联系？
基于学生的回答情况，教师适时进行板书：
结构特征：（1）等号左边：相同两个数的和与差相乘；
等号右边：两项；
这两个数的平方相减
若将这两个数抽象成用字母a和b进行表示，你能用一个等式表示其规律吗？
( a + b) ( a – b ) = a2 – b2 ①
请一位同学来说明如何验证这一公式的正确性，教师进行适时的板书。随后说明我们将这一公式称为乘法的平方差公式。
请两位同学用文字来说一说对这一公式的理解，教师总结并得出平方差公式的文字表述：
两个数的和与这两个数差的积,等于这两个数的平方差.
设计意图：学生通过观察讨论，自主生成平方差公式的结构特征，并从具体的等式中抽象出平方差公式，体会从具体到抽象的知识研究方法，进一步提升观察分析问题、提取概括信息的能力。
追问1：若将( a – b )中的a和b调换位置，写成( a + b) ( b – a ) = a2 – b2，则等式还成立嘛？
若不成立，应如何改正？
( a + b) ( b – a ) = b2 – a2 ②
追问2：对比①式和②式，你能得到什么结论？
基于学生的回答，教师强调：“两个数的和与这两个数差的积,等于这两个数的平方差中”红色字体的重要性，即等号右侧平方差的顺序是由等号左边两个数的差的顺序决定的。
设计意图：通过变式，加深学生对平方差公式含义和结构特征的理解
活动2：前面研究了完全平方公式有它的几何表示，5米
那么平方差公式可以用图形的面积进行解释吗？请同学们观察下图，并思考：1. 等号左边的式子应该代表的是什么图形的面积？2. 等号右边的两项分别代表什么图形的面积。

请一位学生代表发言，教师进行总结。随后请同学以手中15×9的长方形折纸为例，通过动手操作，进行平方差公式的验证。并请学生代表上台演示。
设计意图：通过动手操作，动态演示，使学生进一步体会平方差公示的几何意义，并从中感悟数形结合思想。在操作过程中，体会面积割补法在求解图形面积时的重要作用，为后续引出赵爽的事迹做铺垫。
教师在此时顺势引入数学家赵爽的“面积割补法”验证平方差公式的案例，并为学生介绍赵爽的故事。
设计意图：体会数学家刻苦钻研的精神，从而受到激励和启发，渗透数学当中的课程思政。
（三）课堂练习，应用新知
【例1】
设计意图：通过该题目使学生在具体问题中熟悉平方差公式的结构特征。
【练习1】变式：下列各式能否利用平方差公式
(2 + 3x)( 3x – 2)
(2 + 3x)(-2 – 3x)
(-2 + 3x)(-3x – 2)
(2 + 3x)(3x –1)
【练习2】下列各式的计算正确吗？如果不正确，应当怎样改正？
① (x + 2 )(x – 2 ) = x2 – 2
② (-3a – 2)(3a – 2 ) = 9a2 – 4
③ (4x + 3y)(4x – 3y) = 4x2 – 3y2
④ (2xy – 3)(2xy + 3) = 4xy2 – 9
教师适时强调使用公式时的注意事项。
设计意图：学生通过例题和题组的练习，进一步巩固平方差公式的结构特征，同时在练习过程中总结出运用公式的注意事项，无形中提升了分析和解决问题的能力，从而突破本节课的难点。
【练习3】(1) (3x + 2 )( 3x – 2 ) (2)(-x + 2y)(-x – 2y)

(3) (a + 3b)(a–3b) (4) (3 + 2a)(-3 + 2a)
设计意图：学生通过对平方差公式的具体应用的练习，进一步巩固知识，提高学生应用知识解决问题的能力。
【例2】 102×98
【练习4】 51×49
设计意图：学生通过刚刚的练习，能够将平方差公式的运用迁移到新的计算情景中，通过学案书写和上台板演，体会公式在数的计算中的简便运用。
【例3】 (y + 2)(y – 2) – (y – 1) (y + 5)
【练习5】 (3x + 4)(3x – 4) – (2x + 3)(3x – 2)
设计意图：学生在整式乘法的综合应用中体会应用平方差公式进行计算时的简便性。
（四）课堂小结，梳理知识
教师和学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题
本节课学习了哪些主要内容？
我们是怎么验证平方差公式的？
应用平方差公式进行简便计算时应注意什么？
布置作业，巩固知识
习题14.2复习巩固1
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