多维层次练16-导数与函数的极值、最值（全国百强重点中学复习资料，含答案解析）-新高考学案

这是一份多维层次练16-导数与函数的极值、最值（全国百强重点中学复习资料，含答案解析）-新高考学案，共10页。
1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于( )
A．11或18 B．11
C．18 D．17或18
解析：因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，
所以f(1)＝10，且f′(1)＝0，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋a＋b＋a2＝10，,3＋2a＋b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝3，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝－11.))
而当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝3))时，函数在x＝1处无极值，故舍去．
所以f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，所以f(2)＝18.
答案：C
2．函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无数
解析：函数定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝6x＋eq \f(1,x)－2＝eq \f(6x2－2x＋1,x)，
由于x>0，g(x)＝6x2－2x＋1的Δ＝－200恒成立，故f′(x)>0恒成立，
即f(x)在定义域上单调递增，无极值点．
答案：A
3．已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋mx2＋nx＋2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)＝－eq \f(2,3)，则函数g(x)＝f′(x)ex在区间[0，2]上的最小值为( )
A．－3e B．－2e
C．e D．2e
解析：由题意可得f′(x)＝x2＋2mx＋n，因为f′(x)为偶函数，所以m＝0，故f(x)＝eq \f(1,3)x3＋nx＋2，因为f(1)＝eq \f(1,3)＋n＋2＝－eq \f(2,3)，所以n＝－3.所以f(x)＝eq \f(1,3)x3－3x＋2，则f′(x)＝x2－3.故g(x)＝ex(x2－3)，则g′(x)＝ex(x2－3＋2x)＝ex(x－1)·(x＋3)，据此可知函数g(x)在区间[0，1)上单调递减，在区间(1，2]上单调递增，故函数g(x)的极小值，即最小值为g(1)＝e1·(12－3)＝－2e.故选B.
答案：B
4．(多选题)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是( )
A．f(a)>f(e)>f(d)
B．函数f(x)在[a，b]上递增，在[b，d]上递减
C．函数f(x)的极值点为c，e
D．函数f(x)的极大值为f(b)
解析：由题图可知，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，当x∈(c，e)时，f′(x)0，所以f(x)在(－∞，c)上递增，在(c，e)上递减，在(e，＋∞)上递增，所以f(d)>f(e)，故A错误；函数f(x)在[a，b]上递增，在[b，c]上递增，在[c，d]上递减，故B错误；函数f(x)的极值点为c，e，故C正确；函数f(x)的极大值为f(c)，故D错误．
答案：ABD
5．(多选题)对于函数f(x)＝eq \f(x,ex)，下列说法正确的有( )
A．f(x)在x＝1处取得极大值eq \f(1,e)
B．f(x)有两个不同的零点
C．f(4)1时，f′(x)0时，f(x)>0恒成立，所以函数f(x)只有一个零点，所以B错误；由f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且4>π>3>1，可得f(4)1，可得eq \f(π,eπ)