2021学年1.1 空间向量及其运算精品学案

这是一份2021学年1.1 空间向量及其运算精品学案，共9页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·素养自测
一、选择题
1．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是( )
A．(1,0,0)B．(1,0,1)
C．(1,1,1)D．(1,1,0)
2．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( )
A．在x轴上B．在xOy平面内
C．在yOz平面内D．在xOz平面内
3．(2021·铜陵高二检测)空间直角坐标系中，已知点P(3，－2，－5)，点Q与点P关于Ozx平面对称，则点Q的坐标是( )
A．(－3,2,5)B．(3，－2,5)
C．(3,2，－5)D．(－3，－2，－5)
4．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称D．以上都不对
5．在空间直角坐标系中，已知点P(1，eq \r(2)，eq \r(3))，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )
A．(0，eq \r(2)，0)B．(0，eq \r(2)，eq \r(3))
C．(1,0，eq \r(3))D．(1，eq \r(2)，0)
二、填空题
6．点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝____．
7．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为____．
8．已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为____．
三、解答题
9．建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标．
10．如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP＝2，连接AP，BP，CP，DP，M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点，{eq \(OM,\s\up6(→))，eq \(ON,\s\up6(→))，eq \f(1,2)eq \(OP,\s\up6(→))}为单位正交基底建立空间直角坐标系．若E，F分别为PA，PB的中点，求点A，B，C，D，E，F的坐标．
B组·素养提升
一、选择题
1．设z为任一实数，则点(2,2，z)表示的图形是( )
A．z轴
B．与Oxy平面平行的一直线
C．与Oxy平面垂直的一直线
D．Oxy平面
2．点A(1,2，－1)，点C与点A关于Oxy平面对称，点B与点A关于x轴对称，则eq \(BC,\s\up6(→))的坐标为( )
A．(1,2，－1)B．(1，－2,1)
C．(0，－4,0)D．(0,4,0)
3．三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC的中点，以eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))方向上的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则eq \(MN,\s\up6(→))的坐标为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，－\f(1,2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)，\f(1,2)))
4．正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，且BP＝eq \f(1,3)BD′，建立如图所示的空间直角坐标系，则P点的坐标为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)，\f(1,3)))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3)))
二、填空题
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若eq \(AB,\s\up6(→))＝3i，eq \(AD,\s\up6(→))＝2j，eq \(AA1,\s\up6(→))＝5k，则向量eq \(AC1,\s\up6(→))在基底{i，j，k}下的坐标是____．
6．以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B1B对角线交点的坐标为____．
7．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为____；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为____．
三、解答题
8．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．
9．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点， 求DE，EF的长度．
1.3.1空间直角坐标系
A组·素养自测
一、选择题
1．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是( C )
A．(1,0,0)B．(1,0,1)
C．(1,1,1)D．(1,1,0)
[解析] 由坐标系可知C(1,1,1)，故选C．
2．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( C )
A．在x轴上B．在xOy平面内
C．在yOz平面内D．在xOz平面内
[解析] 由A(0，－2,3)的x轴坐标为0可知，点A在yOz平面内，故选C．
3．(2021·铜陵高二检测)空间直角坐标系中，已知点P(3，－2，－5)，点Q与点P关于Ozx平面对称，则点Q的坐标是( C )
A．(－3,2,5)B．(3，－2,5)
C．(3,2，－5)D．(－3，－2，－5)
[解析] 点Q与点P关于Ozx平面对称，则点Q为(3,2，－5)，故选C．
4．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是( C )
A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称D．以上都不对
[解析] 点P与Q，x，y，z轴均相反，故关于坐标原点对称，选C．
5．在空间直角坐标系中，已知点P(1，eq \r(2)，eq \r(3))，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( B )
A．(0，eq \r(2)，0)B．(0，eq \r(2)，eq \r(3))
C．(1,0，eq \r(3))D．(1，eq \r(2)，0)
[解析] 点P作平面yOz的垂线，则Q在平面yOz上，则Q为(0，eq \r(2)，eq \r(3))，故选B．
二、填空题
6．点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝__0__．
[解析] 由题可知B(1,0，－1)，则x＝1，y＝0，z＝－1，
∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0．
7．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为__(4,0，－1)__．
[解析] A、B中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3＋5,2)，\f(2－2,2)，\f(－4＋2,2)))＝(4,0，－1)．
8．已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为__(5,4,1)__．
[解析] 设B(x，y，z)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋3,2)＝4，,\f(y＋2,2)＝3，,\f(z＋1,2)＝1，))解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝4，,z＝1.))
∴B(5,4,1)．
三、解答题
9．建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标．
[解析] 正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，且E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，
∴正六边形EFGHIJ各顶点的坐标为Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)，a))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，0，a))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，0，\f(a,2)))，Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a,2)，0))，Ieq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，a，0))，Jeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，a，\f(a,2)))．
10．如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP＝2，连接AP，BP，CP，DP，M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点，{eq \(OM,\s\up6(→))，eq \(ON,\s\up6(→))，eq \f(1,2)eq \(OP,\s\up6(→))}为单位正交基底建立空间直角坐标系．若E，F分别为PA，PB的中点，求点A，B，C，D，E，F的坐标．
[解析] 由题意知，点B的坐标为(1,1,0)，由点A与点B关于x轴对称，得A(1，－1,0)，
由点C与点B关于y轴对称，得C(－1,1,0)，由点D与点C关于x轴对称，得D(－1，－1,0)．
又P(0,0,2)，E为AP的中点，F为PB的中点，
所以由中点坐标公式可得
Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))．
B组·素养提升
一、选择题
1．设z为任一实数，则点(2,2，z)表示的图形是( C )
A．z轴
B．与Oxy平面平行的一直线
C．与Oxy平面垂直的一直线
D．Oxy平面
[解析] (2,2，z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线，选C．
2．点A(1,2，－1)，点C与点A关于Oxy平面对称，点B与点A关于x轴对称，则eq \(BC,\s\up6(→))的坐标为( D )
A．(1,2，－1)B．(1，－2,1)
C．(0，－4,0)D．(0,4,0)
[解析] 由题可知C(1,2,1)，B(1，－2,1)，
∴eq \(BC,\s\up6(→))＝(0,4,0)，选D．
3．三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC的中点，以eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))方向上的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则eq \(MN,\s\up6(→))的坐标为( B )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，－\f(1,2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)，\f(1,2)))
[解析] eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(BN,\s\up6(→))－eq \(BM,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))－eq \f(1,2)(eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BP,\s\up6(→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，－\f(1,2)))，选B．
4．正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，且BP＝eq \f(1,3)BD′，建立如图所示的空间直角坐标系，则P点的坐标为( D )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)，\f(1,3)))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3)))
[解析] 本题主要考查空间直角坐标系中的点的坐标．如图所示，过P点分别作平面xOy和z轴的垂线，垂足分别为E，H，过E分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为F，G，由于|BP|＝eq \f(1,3)|BD′|，所以|DH|＝eq \f(1,3)|DD′|＝eq \f(1,3)，|DF|＝eq \f(2,3)|DA|＝eq \f(2,3)，|DG|＝eq \f(2,3)|DC|＝eq \f(2,3)，所以P点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3)))，故选D．
二、填空题
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若eq \(AB,\s\up6(→))＝3i，eq \(AD,\s\up6(→))＝2j，eq \(AA1,\s\up6(→))＝5k，则向量eq \(AC1,\s\up6(→))在基底{i，j，k}下的坐标是__(3,2,5)__．
[解析] eq \(AC1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝3i＋2j＋5k，所以向量eq \(AC1,\s\up6(→))在基底{i，j，k}下的坐标是(3,2,5)．
6．以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B1B对角线交点的坐标为__eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))__．
[解析] 如图所示，A(0,0,0)，B1(1,0,1)．
平面AA1B1B对角线交点是线段AB1的中点，所以由中点坐标公式得所求点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))．
7．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为__(1,1,1)__；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为__eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)，－1))__．
[解析] 由题意知p＝2a＋b－c，
则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1,1,1)．
设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则
p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
又∵p＝2a＋b－c，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,x－y＝1，,z＝－1，))
解得x＝eq \f(3,2)，y＝eq \f(1,2)，z＝－1，
∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)，－1))．
三、解答题
8．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．
[解析] 过点D作DE⊥BC，垂足为E．
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得|eq \(BD,\s\up6(→))|＝1，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，
∴|eq \(DE,\s\up6(→))|＝|eq \(CD,\s\up6(→))|sin 30°＝eq \f(\r(3),2)，
|eq \(OE,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|－|eq \(BE,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|－|eq \(BD,\s\up6(→))|cs 60°＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，
∴点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))．
9．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点， 求DE，EF的长度．
[解析] 以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，所以C(0,0,0)，
eq \(CA,\s\up6(→))＝2i＋0j＋0k所以点A的坐标为(2,0,0)，
同理B(0,2,0)，C1(0,0,2)，因为B1在Cxy平面内的射影为B(0,2,0)且|BB1|＝2，所以点B1的坐标为(0,2,2)，
由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，
所以eq \(CD,\s\up6(→))＝(1,1,0)＝i＋j，eq \(CE,\s\up6(→))＝(0,1,2)＝j＋2k，
所以eq \(DE,\s\up6(→))＝(j＋2k)－(i＋j)＝－i＋2k，
|eq \(DE,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)即DE＝eq \r(5)，
同理EF＝eq \r(1－02＋0－12＋0－22)＝eq \r(6)．