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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直精品学案设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直精品学案设计,共6页。
1.和两条异面直线都垂直的直线( )
A.有无数条 B.有两条
C.只有一条 D.不存在
2.在正方体ABCD A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(7),2)
3.在三棱柱ABC A1B1C1中,AA1⊥AB,AA1⊥AC.若AB=AC=AA1=1,BC=eq \r(2),则异面直线A1C与B1C1所成的角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
4.在正方体ABCD A1B1C1D1中,求:
(1)直线AB与A1D1所成的角为________;
(2)直线AD1与DC1所成的角为________.
5.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为A1A,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于________.
6.空间四边形ABCD中,AB,BC,CD的中点分别为P,Q,R,且AC=4,BD=2eq \r(5),PR=3,求证:AC⊥BD.
[提能力]
7.
(多选)如图所示是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,下列命题正确的是( )
A.GH与EF平行 B.BD与MN为异面直线
C.GH与MN成60°角 D.DE与MN垂直
8.如图,在四面体A BCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若直线BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=1,则EF的长为________.
9.正四棱锥P ABCD的所有棱长均相等,E是PC的中点,求异面直线BE与PA所成的角的余弦值.
[战疑难]
10.已知直三棱柱ABC A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(15),5)
C.eq \f(\r(10),5) D.eq \f(\r(3),3)
课时作业解析
1.解析:由于异面直线的公垂线只有一条,因此凡与公垂线平行的直线都与两条异面直线垂直,有无数条.故选A.
答案:A
2.解析:本题主要考查异面直线所成的角.
因为CD∥AB,所以∠BAE即为异面直线AE与CD所成的角.设正方体的棱长为2,连接BE,则BE=eq \r(5).
因为AB⊥平面BB1C1C,所以AB⊥BE.
在Rt△ABE中,tan∠BAE=eq \f(BE,AB)=eq \f(\r(5),2).故选C.
答案:C
3.
解析:由题意可知BC∥B1C1,故A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角,连接A1B,在△A1BC中,BC=A1C=A1B=eq \r(2),故∠A1CB=60°.则异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.
答案:C
4.解析:(1)∵A1B1∥AB,∴∠D1A1B1就是异面直线AB与A1D1所成的角.∵∠D1A1B1=90°,
∴直线AB与A1D1所成的角为90°.
(2)如图,连接AB1,B1D1.
∵AB1∥DC1,∴直线AB1与AD1所成的角即直线DC1与AD1所成的角.
又AD1=AB1=B1D1,∴△AB1D1为正三角形,
∴直线AD1与AB1所成的角为60°,
即直线AD1与DC1所成的角为60°.
答案:(1)90° (2)60°
5.解析:取A1B1的中点M,连接MG,MH,
则MG∥EF,MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角.
易知△MGH为正三角形,∠MGH=60°,
∴EF与GH所成的角等于60°.
答案:60°
6.证明:
如图,因为P,Q,R分别为AB,BC,CD的中点,
所以PQ∥AC,QR∥BD,
所以∠PQR为AC和BD所成的角.
又PQ=eq \f(1,2)AC=2,QR=eq \f(1,2)BD=eq \r(5),PR=3,
所以PR2=PQ2+QR2,所以∠PQR=90°,
即AC和BD所成的角为90°.所以AC⊥BD.
7.解析:如图,把平面展开图还原成正四面体,知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE与MN垂直,故BCD正确.
答案:BCD
8.解析:取BC的中点O,连接OE,OF.
∵E,F分别是AB,CD的中点,
∴OE綉eq \f(1,2)AC,OF綉eq \f(1,2)BD,
∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为直线AC与BD所成的角.
已知AC,BD所成的角为60°,∴∠EOF=60°或∠EOF=120°.
当∠EOF=60°时,EF=OE=OF=eq \f(1,2).
当∠EOF=120°时,取EF的中点M,连接OM,则有OM⊥EF,
EF=2EM=2×eq \f(\r(3),4)=eq \f(\r(3),2).
答案:eq \f(1,2)或eq \f(\r(3),2)
9.解析:连接AC,BD相交于O,连接OE,
则O为AC的中点,因为E是PC的中点,
所以OE是△PAC的中位线,
则OE綉eq \f(1,2)PA,则OE与BE所成的角即为异面直线BE与PA所成的角,
设四棱锥的棱长为1,
则OE=eq \f(1,2)PA=eq \f(1,2),OB=eq \f(1,2)BD=eq \f(\r(2),2),BE=eq \f(\r(3),2),
则cs∠OEB=eq \f(OE2+BE2-OB2,2OE·BE)
=eq \f(\f(1,4)+\f(3,4)-\f(2,4),2×\f(1,2)×\f(\r(3),2))=eq \f(\r(3),3).
10.解析:
如图,M,N,P分别为AB,BB1,B1C1的中点,则直线AB1,BC1的夹角即为直线MN和NP的夹角.
MN=eq \f(1,2)AB1=eq \f(\r(5),2),NP=eq \f(1,2)BC1=eq \f(\r(2),2).
取BC的中点Q,则可知△PQM为直角三角形.
易知PQ=1,MQ=eq \f(1,2)AC.
在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cs∠ABC=4+1-2×2×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)))=7,所以AC=eq \r(7).所以MQ=eq \f(\r(7),2).
在Rt△MQP中,MP=eq \r(MQ2+PQ2)=eq \f(\r(11),2).
在△PMN中,cs∠PNM=eq \f(MN2+NP2-PM2,2·MN·NP)=eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(11),2)))2,2×\f(\r(5),2)×\f(\r(2),2))=-eq \f(\r(10),5).
∵异面直线所成角的范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),
∴余弦值为eq \f(\r(10),5).故选C.
答案:C
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