还剩11页未读，
继续阅读
高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体优质学案
展开
这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体优质学案，共14页。
知识点一 样本的标准差、方差的计算
1.现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如果数据x1，x2，…，xn的平均数是eq \(x,\s\up9(－))，方差是s2，则3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数和方差分别是( )
A.eq \(x,\s\up9(－))和s2 B．3eq \(x,\s\up9(－))和9s2
C．3eq \(x,\s\up9(－))＋2和9s2 D．3eq \(x,\s\up9(－))＋2和9s2＋4
3．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值eq \(x,\s\up9(－))＝________，病人等待时间方差的估计值s2＝________.
4．某班40人随机分成两组，第1组15人，第2组25人，两组学生一次数学考试的成绩(单位：分)情况如下表：
求全班学生这次数学考试的平均成绩和方差．
知识点二 样本的标准差、方差的实际应用
5.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
则参加奥运会的最佳人选应为________．
6．甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁合适？
(4)甲、乙两名战士的成绩在[eq \(x,\s\up9(－))－2s，eq \(x,\s\up9(－))＋2s]内有多少？
知识点三 由图形分析方差、标准差
7.甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们成绩(环数)的频数条形统计图如图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的标准差s甲，s乙，s丙的大小关系是( )
A．s丙>s乙>s甲 B．s甲>s丙>s乙
C．s丙>s甲>s乙 D．s乙>s丙>s甲
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．在两组数据中，平均数较大的一组极差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据波动的大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大说明射击水平稳定
2．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90,89,90,95,93,94,93.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．92,2 B．92,2.8 C．93,2 D．93,2.8
3．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人的成绩的标准差为( )
A.eq \r(3) B.eq \f(2\r(10),5) C．3 D.eq \f(8,5)
4．(多选)乐乐家共有七人，已知今年这七人岁数的众数为35、平均数为44、中位数为55、标准差为19.则5年后，下列说法中正确的有( )
A．这七人岁数的众数变为40
B．这七人岁数的平均数变为49
C．这七人岁数的中位数变为60
D．这七人岁数的标准差变为24
5．若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的情况)不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是( )
A．甲同学：平均数为2，众数为1
B．乙同学：平均数为2，方差小于1
C．丙同学：中位数为2，众数为2
D．丁同学：众数为2，方差大于1
二、填空题
6．对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据．
上述统计数据的平均数是________，方差是________．
7．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．
8．某班有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班6名男生和4名女生在某次数学测验中的成绩，6名男生的成绩分别为86分，94分，88分，92分，90分，90分，4名女生的成绩分别为90分，93分，93分，88分，则下列说法：
①这种抽样方法是比例分配的分层随机抽样；
②该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数；
③这6名男生成绩的方差大于这4名女生成绩的方差；
④被抽取的10名学生成绩的平均数和方差分别为90.4分和6.04.
其中一定正确的是________(写出所有正确说法的序号)．
三、解答题
9．已知母鸡产蛋的最佳温度在10 ℃左右，下面是在甲、乙两地六个时刻测得的温度，你认为甲、乙两地哪个地方更适合母鸡产蛋？
10．某学校在上报《国家学生体质健康标准》高一年级学生的肺活量单项数据中，采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法．如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其肺活量平均数为3000 mL，方差为10；抽取了女生30人，其肺活量平均数为2500 mL，方差为20，估计高一年级全体学生肺活量的平均数与方差．
9.2.4 总体离散程度的估计
知识点一 样本的标准差、方差的计算
1.现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 由s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)eq \\al(2,i)－eq \(x,\s\up9(－)) 2，得s2＝eq \f(1,10)×100－32＝1，即标准差s＝1.
2．如果数据x1，x2，…，xn的平均数是eq \(x,\s\up9(－))，方差是s2，则3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数和方差分别是( )
A.eq \(x,\s\up9(－))和s2 B．3eq \(x,\s\up9(－))和9s2
C．3eq \(x,\s\up9(－))＋2和9s2 D．3eq \(x,\s\up9(－))＋2和9s2＋4
答案 C
解析 3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数是3eq \(x,\s\up9(－))＋2，由于数据x1，x2，…，xn的方差为s2，所以3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的方差为32s2＝9s2，故选C.
3．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值eq \(x,\s\up9(－))＝________，病人等待时间方差的估计值s2＝________.
答案 9.5 28.5
解析 eq \(x,\s\up9(－))＝eq \f(1,20)×(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5，s2＝eq \f(1,20)×[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5.
4．某班40人随机分成两组，第1组15人，第2组25人，两组学生一次数学考试的成绩(单位：分)情况如下表：
求全班学生这次数学考试的平均成绩和方差．
解 由题意，知第1组这次数学考试的平均分eq \(x,\s\up9(－))1＝84，方差seq \\al(2,1)＝62＝36，权重w1＝eq \f(15,40)，
第2组这次数学考试的平均分eq \(x,\s\up9(－))2＝80，方差seq \\al(2,2)＝42＝16，权重w2＝eq \f(25,40).
故全班学生这次数学考试的平均成绩eq \(x,\s\up9(－))＝eq \f(15,40)×84＋eq \f(25,40)×80＝81.5(分)，
方差s2＝w1[seq \\al(2,1)＋(eq \(x,\s\up9(－))1－eq \(x,\s\up9(－)))2]＋w2[seq \\al(2,2)＋(eq \(x,\s\up9(－))2－eq \(x,\s\up9(－)))2]
＝eq \f(15,40)×[36＋(84－81.5)2]＋eq \f(25,40)×[16＋(80－81.5)2]＝27.25.
知识点二 样本的标准差、方差的实际应用
5.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
则参加奥运会的最佳人选应为________．
答案 丙
解析 因为丙的平均数最大，方差最小，故应选丙．
6．甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁合适？
(4)甲、乙两名战士的成绩在[eq \(x,\s\up9(－))－2s，eq \(x,\s\up9(－))＋2s]内有多少？
解 (1)eq \(x,\s\up9(－))甲＝eq \f(1,10)×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，eq \(x,\s\up9(－))乙＝eq \f(1,10)×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.
(2)由方差公式s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \(x,\s\up9(－)))2，得seq \\al(2,甲)＝3，seq \\al(2,乙)＝1.2.
(3)eq \(x,\s\up9(－))甲＝eq \(x,\s\up9(－))乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．
又seq \\al(2,甲)>seq \\al(2,乙)，说明甲战士射击情况波动比乙大．
因此，乙战士比甲战士射击情况稳定．从成绩的稳定性考虑，应选乙参加比赛．
(4)因为s甲＝eq \r(s\\al(2,甲))＝eq \r(3)≈1.73，eq \(x,\s\up9(－))甲－2s甲≈3.54，eq \(x,\s\up9(－))甲＋2s甲≈10.46，
所以甲战士的成绩全部在[eq \(x,\s\up9(－))－2s，eq \(x,\s\up9(－))＋2s]内．
因为s乙＝eq \r(s\\al(2,乙))＝eq \r(1.2)≈1.10，eq \(x,\s\up9(－))乙－2s乙≈4.8，eq \(x,\s\up9(－))乙＋2s乙≈9.2，
所以乙战士的成绩也全部在[eq \(x,\s\up9(－))－2s，eq \(x,\s\up9(－))＋2s]内.
知识点三 由图形分析方差、标准差
7.甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们成绩(环数)的频数条形统计图如图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的标准差s甲，s乙，s丙的大小关系是( )
A．s丙>s乙>s甲 B．s甲>s丙>s乙
C．s丙>s甲>s乙 D．s乙>s丙>s甲
答案 C
解析 由甲图可知，
eq \(x,\s\up9(－))甲＝eq \f(3×6＋4×6＋5×6＋6×6＋7×6＋8×6＋9×6,6×7)＝6，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,42)×[6×(3－6)2＋6×(4－6)2＋6×(5－6)2＋6×(6－6)2＋6×(7－6)2＋6×(8－6)2＋6×(9－6)2]＝4，
标准差s甲＝eq \r(4)＝2；
由乙图可知，
eq \(x,\s\up9(－))乙＝eq \f(3×3＋5×4＋8×5＋10×6＋8×7＋5×8＋3×9,42)＝6，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,42)×[3×(3－6)2＋5×(4－6)2＋8×(5－6)2＋10×(6－6)2＋8×(7－6)2＋5×(8－6)2＋3×(9－6)2]≈2.6，
标准差s乙≈eq \r(2.6)；
由丙图可知，
eq \(x,\s\up9(－))丙＝eq \f(8×3＋5×4＋3×5＋10×6＋3×7＋5×8＋8×9,42)＝6，
seq \\al(2,丙)＝eq \f(1,42)×[8×(3－6)2＋5×(4－6)2＋3×(5－6)2＋10×(6－6)2＋3×(7－6)2＋5×(8－6)2＋8×(9－6)2]≈4.5，
标准差s丙≈eq \r(4.5).故s丙>s甲>s乙，选C.
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．在两组数据中，平均数较大的一组极差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据波动的大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大说明射击水平稳定
答案 B
解析 平均数表示一组数据的集中趋势，平均数的大小并不能说明该组数据极差的大小，所以A错误；方差公式s2＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up9(n),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up9(－)))2，所以C错误；方差大说明射击水平不稳定，所以D错误．故选B.
2．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90,89,90,95,93,94,93.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．92,2 B．92,2.8 C．93,2 D．93,2.8
答案 B
解析 去掉一个最高分95与一个最低分89后，所得的5个数分别为90,90,93,94,93，
所以eq \(x,\s\up9(－))＝eq \f(90＋90＋93＋94＋93,5)＝eq \f(460,5)＝92，
s2＝eq \f(2×90－922＋2×93－922＋94－922,5)＝eq \f(14,5)＝2.8，故选B.
3．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人的成绩的标准差为( )
A.eq \r(3) B.eq \f(2\r(10),5) C．3 D.eq \f(8,5)
答案 B
解析 平均数为eq \f(5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10,100)＝3.故s2＝eq \f(1,100)×[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]＝eq \f(8,5).故s＝eq \r(\f(8,5))＝eq \f(2\r(10),5).
4．(多选)乐乐家共有七人，已知今年这七人岁数的众数为35、平均数为44、中位数为55、标准差为19.则5年后，下列说法中正确的有( )
A．这七人岁数的众数变为40
B．这七人岁数的平均数变为49
C．这七人岁数的中位数变为60
D．这七人岁数的标准差变为24
答案 ABC
解析 根据众数、平均数、中位数概念得5年后，相应增加5，而标准差不变．所以这七人岁数的众数变为40；平均数变为49；中位数变为60；标准差不变为19.即正确的有A，B，C.故选ABC.
5．若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的情况)不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是( )
A．甲同学：平均数为2，众数为1
B．乙同学：平均数为2，方差小于1
C．丙同学：中位数为2，众数为2
D．丁同学：众数为2，方差大于1
答案 B
解析 甲同学：若平均数为2，众数为1，则有一次名次应为4，故排除A；乙同学：平均数为2，设乙同学3次考试的名次分别为x1，x2，x3，则方差s2＝eq \f(1,3)[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2]<1，则(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2<3，所以x1，x2，x3均不大于3，符合题意；丙同学：中位数为2，众数为2，有可能是2,2,4，不符合题意；丁同学：有可能是2,2,6，不符合题意．故选B.
二、填空题
6．对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据．
上述统计数据的平均数是________，方差是________．
答案 44 7
解析 上述统计数据的平均数＝eq \f(1,8)×(40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋48)＝44，方差＝eq \f(1,8)×[(40－44)2＋(41－44)2＋(43－44)2＋(43－44)2＋(44－44)2＋(46－44)2＋(47－44)2＋(48－44)2]＝7.
7．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．
答案 4
解析 由题意可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，设x＝10＋t，y＝10－t，则t2＝4，|t|＝2，故|x－y|＝2|t|＝4.
8．某班有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班6名男生和4名女生在某次数学测验中的成绩，6名男生的成绩分别为86分，94分，88分，92分，90分，90分，4名女生的成绩分别为90分，93分，93分，88分，则下列说法：
①这种抽样方法是比例分配的分层随机抽样；
②该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数；
③这6名男生成绩的方差大于这4名女生成绩的方差；
④被抽取的10名学生成绩的平均数和方差分别为90.4分和6.04.
其中一定正确的是________(写出所有正确说法的序号)．
答案 ①③④
解析 因为该班有30名男生和20名女生且抽取的男生和女生的比为3∶2，所以这种抽样方法是比例分配的分层随机抽样，①正确；抽取的6名男生成绩的平均数eq \(x,\s\up9(－))男＝eq \f(86＋94＋88＋92＋90＋90,6)＝90(分)，抽取的4名女生成绩的平均数eq \(x,\s\up9(－))女＝eq \f(90＋93＋93＋88,4)＝91(分)，虽然eq \(x,\s\up9(－))男eq \f(9,2)，所以③正确；被抽取的10名学生成绩的平均数eq \(x,\s\up9(－))＝eq \f(6,10)×90＋eq \f(4,10)×91＝90.4(分)，被抽取的10名学生成绩的方差s2＝eq \f(6,10)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(20,3)＋90－90.42))＋eq \f(4,10)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,2)＋91－90.42))＝4.096＋1.944＝6.04，④正确．故一定正确的是①③④.
三、解答题
9．已知母鸡产蛋的最佳温度在10 ℃左右，下面是在甲、乙两地六个时刻测得的温度，你认为甲、乙两地哪个地方更适合母鸡产蛋？
解 ①eq \(x,\s\up9(－))甲＝eq \f(1,6)×(－5＋7＋15＋14－4－3)＝4，
eq \(x,\s\up9(－))乙＝eq \f(1,6)×(1＋4＋10＋7＋2＋0)＝4.
②极差：甲地温度极差＝15－(－5)＝20；
乙地温度极差＝10－0＝10.
③标准差：
s甲＝ eq \r(\f(1,6)×[－5－42＋…＋－4－42＋－3－42])≈8.4；
s乙＝ eq \r(\f(1,6)×[1－42＋…＋2－42＋0－42])≈3.5.
显然两地的平均温度相等，乙地温度的极差、标准差较小，说明了乙地温度波动较小．
因此，乙地比甲地更适合母鸡产蛋．
10．某学校在上报《国家学生体质健康标准》高一年级学生的肺活量单项数据中，采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法．如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其肺活量平均数为3000 mL，方差为10；抽取了女生30人，其肺活量平均数为2500 mL，方差为20，估计高一年级全体学生肺活量的平均数与方差．
解 把男生样本记为x1，x2，…，x20，其平均数记为eq \(x,\s\up9(－))，方差记为seq \\al(2,x)；把女生样本记为y1，y2，…，y30，其平均数记为eq \(y,\s\up9(－))，方差记为seq \\al(2,y)；把总样本数据的平均数记为eq \(z,\s\up9(－))，方差记为s2.
由eq \(x,\s\up9(－))＝3000，eq \(y,\s\up9(－))＝2500，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为eq \(z,\s\up9(－))＝eq \f(20,20＋30)eq \(x,\s\up9(－))＋eq \f(30,20＋30)eq \(y,\s\up9(－))＝eq \f(2,5)×3000＋eq \f(3,5)×2500＝2700.
根据方差的定义，总样本方差为s2＝eq \f(1,50)[eq \i\su(i＝1,20, ) (xi－eq \(z,\s\up9(－)))2＋eq \i\su(j＝1,30, )(yj－eq \(z,\s\up9(－)))2]＝eq \f(1,50)[eq \i\su(i＝1,20, ) (xi－eq \(x,\s\up9(－))＋eq \(x,\s\up9(－))－eq \(z,\s\up9(－)))2＋eq \i\su(j＝1,30, ) (yj－eq \(y,\s\up9(－))＋eq \(y,\s\up9(－))－eq \(z,\s\up9(－)))2]．
由eq \i\su(i＝1,20, )(xi－eq \(x,\s\up9(－)))＝eq \i\su(i＝1,20,x)i－20eq \(x,\s\up9(－))＝0，
可得eq \i\su(i＝1,20,2)(xi－eq \(x,\s\up9(－)))(eq \(x,\s\up9(－))－eq \(z,\s\up9(－)))＝2(eq \(x,\s\up9(－))－eq \(z,\s\up9(－)))·eq \i\su(i＝1,20, )(xi－eq \(x,\s\up9(－)))＝0.
同理可得eq \i\su(j＝1,30,2)(yj－eq \(y,\s\up9(－)))(eq \(y,\s\up9(－))－eq \(z,\s\up9(－)))＝0.
因此s2＝eq \f(1,50)[eq \i\su(i＝1,20, ) (xi－eq \(x,\s\up9(－)))2＋eq \i\su(i＝1,20, ) (eq \(x,\s\up9(－))－eq \(z,\s\up9(－)))2＋eq \i\su(j＝1,30, )(yj－eq \(y,\s\up9(－)))2＋eq \i\su(j＝1,30, ) (eq \(y,\s\up9(－))－eq \(z,\s\up9(－)))2]＝eq \f(1,50)×{20[seq \\al(2,x)＋(eq \(x,\s\up9(－))－eq \(z,\s\up9(－)))2]＋30[seq \\al(2,y)＋(eq \(y,\s\up9(－))－eq \(z,\s\up9(－)))2]}＝eq \f(1,50)×{20×[102＋(3000－2700)2]＋30×[202＋(2500－2700)2]}＝60280.
据此估计高一年级全体学生肺活量的平均数为2700 mL，方差为60280.
等待时间/分
[0,5)
[5,10)
[10,15)
[15,20)
[20,25]
频数
4
8
5
2
1
组别
平均分
标准差
第1组
84
6
第2组
80
4
甲
乙
丙
丁
平均数eq \(x,\s\up9(－))
8.5
8.7
8.8
8.0
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.7
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
观测序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
观测数据ai
40
41
43
43
44
46
47
48
等待时间/分
[0,5)
[5,10)
[10,15)
[15,20)
[20,25]
频数
4
8
5
2
1
组别
平均分
标准差
第1组
84
6
第2组
80
4
甲
乙
丙
丁
平均数eq \(x,\s\up9(－))
8.5
8.7
8.8
8.0
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.7
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
观测序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
观测数据ai
40
41
43
43
44
46
47
48
知识点一 样本的标准差、方差的计算
1.现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如果数据x1，x2，…，xn的平均数是eq \(x,\s\up9(－))，方差是s2，则3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数和方差分别是( )
A.eq \(x,\s\up9(－))和s2 B．3eq \(x,\s\up9(－))和9s2
C．3eq \(x,\s\up9(－))＋2和9s2 D．3eq \(x,\s\up9(－))＋2和9s2＋4
3．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值eq \(x,\s\up9(－))＝________，病人等待时间方差的估计值s2＝________.
4．某班40人随机分成两组，第1组15人，第2组25人，两组学生一次数学考试的成绩(单位：分)情况如下表：
求全班学生这次数学考试的平均成绩和方差．
知识点二 样本的标准差、方差的实际应用
5.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
则参加奥运会的最佳人选应为________．
6．甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁合适？
(4)甲、乙两名战士的成绩在[eq \(x,\s\up9(－))－2s，eq \(x,\s\up9(－))＋2s]内有多少？
知识点三 由图形分析方差、标准差
7.甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们成绩(环数)的频数条形统计图如图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的标准差s甲，s乙，s丙的大小关系是( )
A．s丙>s乙>s甲 B．s甲>s丙>s乙
C．s丙>s甲>s乙 D．s乙>s丙>s甲
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．在两组数据中，平均数较大的一组极差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据波动的大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大说明射击水平稳定
2．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90,89,90,95,93,94,93.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．92,2 B．92,2.8 C．93,2 D．93,2.8
3．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人的成绩的标准差为( )
A.eq \r(3) B.eq \f(2\r(10),5) C．3 D.eq \f(8,5)
4．(多选)乐乐家共有七人，已知今年这七人岁数的众数为35、平均数为44、中位数为55、标准差为19.则5年后，下列说法中正确的有( )
A．这七人岁数的众数变为40
B．这七人岁数的平均数变为49
C．这七人岁数的中位数变为60
D．这七人岁数的标准差变为24
5．若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的情况)不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是( )
A．甲同学：平均数为2，众数为1
B．乙同学：平均数为2，方差小于1
C．丙同学：中位数为2，众数为2
D．丁同学：众数为2，方差大于1
二、填空题
6．对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据．
上述统计数据的平均数是________，方差是________．
7．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．
8．某班有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班6名男生和4名女生在某次数学测验中的成绩，6名男生的成绩分别为86分，94分，88分，92分，90分，90分，4名女生的成绩分别为90分，93分，93分，88分，则下列说法：
①这种抽样方法是比例分配的分层随机抽样；
②该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数；
③这6名男生成绩的方差大于这4名女生成绩的方差；
④被抽取的10名学生成绩的平均数和方差分别为90.4分和6.04.
其中一定正确的是________(写出所有正确说法的序号)．
三、解答题
9．已知母鸡产蛋的最佳温度在10 ℃左右，下面是在甲、乙两地六个时刻测得的温度，你认为甲、乙两地哪个地方更适合母鸡产蛋？
10．某学校在上报《国家学生体质健康标准》高一年级学生的肺活量单项数据中，采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法．如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其肺活量平均数为3000 mL，方差为10；抽取了女生30人，其肺活量平均数为2500 mL，方差为20，估计高一年级全体学生肺活量的平均数与方差．
9.2.4 总体离散程度的估计
知识点一 样本的标准差、方差的计算
1.现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 由s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)eq \\al(2,i)－eq \(x,\s\up9(－)) 2，得s2＝eq \f(1,10)×100－32＝1，即标准差s＝1.
2．如果数据x1，x2，…，xn的平均数是eq \(x,\s\up9(－))，方差是s2，则3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数和方差分别是( )
A.eq \(x,\s\up9(－))和s2 B．3eq \(x,\s\up9(－))和9s2
C．3eq \(x,\s\up9(－))＋2和9s2 D．3eq \(x,\s\up9(－))＋2和9s2＋4
答案 C
解析 3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数是3eq \(x,\s\up9(－))＋2，由于数据x1，x2，…，xn的方差为s2，所以3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的方差为32s2＝9s2，故选C.
3．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值eq \(x,\s\up9(－))＝________，病人等待时间方差的估计值s2＝________.
答案 9.5 28.5
解析 eq \(x,\s\up9(－))＝eq \f(1,20)×(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5，s2＝eq \f(1,20)×[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5.
4．某班40人随机分成两组，第1组15人，第2组25人，两组学生一次数学考试的成绩(单位：分)情况如下表：
求全班学生这次数学考试的平均成绩和方差．
解 由题意，知第1组这次数学考试的平均分eq \(x,\s\up9(－))1＝84，方差seq \\al(2,1)＝62＝36，权重w1＝eq \f(15,40)，
第2组这次数学考试的平均分eq \(x,\s\up9(－))2＝80，方差seq \\al(2,2)＝42＝16，权重w2＝eq \f(25,40).
故全班学生这次数学考试的平均成绩eq \(x,\s\up9(－))＝eq \f(15,40)×84＋eq \f(25,40)×80＝81.5(分)，
方差s2＝w1[seq \\al(2,1)＋(eq \(x,\s\up9(－))1－eq \(x,\s\up9(－)))2]＋w2[seq \\al(2,2)＋(eq \(x,\s\up9(－))2－eq \(x,\s\up9(－)))2]
＝eq \f(15,40)×[36＋(84－81.5)2]＋eq \f(25,40)×[16＋(80－81.5)2]＝27.25.
知识点二 样本的标准差、方差的实际应用
5.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
则参加奥运会的最佳人选应为________．
答案 丙
解析 因为丙的平均数最大，方差最小，故应选丙．
6．甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁合适？
(4)甲、乙两名战士的成绩在[eq \(x,\s\up9(－))－2s，eq \(x,\s\up9(－))＋2s]内有多少？
解 (1)eq \(x,\s\up9(－))甲＝eq \f(1,10)×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，eq \(x,\s\up9(－))乙＝eq \f(1,10)×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.
(2)由方差公式s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \(x,\s\up9(－)))2，得seq \\al(2,甲)＝3，seq \\al(2,乙)＝1.2.
(3)eq \(x,\s\up9(－))甲＝eq \(x,\s\up9(－))乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．
又seq \\al(2,甲)>seq \\al(2,乙)，说明甲战士射击情况波动比乙大．
因此，乙战士比甲战士射击情况稳定．从成绩的稳定性考虑，应选乙参加比赛．
(4)因为s甲＝eq \r(s\\al(2,甲))＝eq \r(3)≈1.73，eq \(x,\s\up9(－))甲－2s甲≈3.54，eq \(x,\s\up9(－))甲＋2s甲≈10.46，
所以甲战士的成绩全部在[eq \(x,\s\up9(－))－2s，eq \(x,\s\up9(－))＋2s]内．
因为s乙＝eq \r(s\\al(2,乙))＝eq \r(1.2)≈1.10，eq \(x,\s\up9(－))乙－2s乙≈4.8，eq \(x,\s\up9(－))乙＋2s乙≈9.2，
所以乙战士的成绩也全部在[eq \(x,\s\up9(－))－2s，eq \(x,\s\up9(－))＋2s]内.
知识点三 由图形分析方差、标准差
7.甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们成绩(环数)的频数条形统计图如图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的标准差s甲，s乙，s丙的大小关系是( )
A．s丙>s乙>s甲 B．s甲>s丙>s乙
C．s丙>s甲>s乙 D．s乙>s丙>s甲
答案 C
解析 由甲图可知，
eq \(x,\s\up9(－))甲＝eq \f(3×6＋4×6＋5×6＋6×6＋7×6＋8×6＋9×6,6×7)＝6，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,42)×[6×(3－6)2＋6×(4－6)2＋6×(5－6)2＋6×(6－6)2＋6×(7－6)2＋6×(8－6)2＋6×(9－6)2]＝4，
标准差s甲＝eq \r(4)＝2；
由乙图可知，
eq \(x,\s\up9(－))乙＝eq \f(3×3＋5×4＋8×5＋10×6＋8×7＋5×8＋3×9,42)＝6，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,42)×[3×(3－6)2＋5×(4－6)2＋8×(5－6)2＋10×(6－6)2＋8×(7－6)2＋5×(8－6)2＋3×(9－6)2]≈2.6，
标准差s乙≈eq \r(2.6)；
由丙图可知，
eq \(x,\s\up9(－))丙＝eq \f(8×3＋5×4＋3×5＋10×6＋3×7＋5×8＋8×9,42)＝6，
seq \\al(2,丙)＝eq \f(1,42)×[8×(3－6)2＋5×(4－6)2＋3×(5－6)2＋10×(6－6)2＋3×(7－6)2＋5×(8－6)2＋8×(9－6)2]≈4.5，
标准差s丙≈eq \r(4.5).故s丙>s甲>s乙，选C.
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．在两组数据中，平均数较大的一组极差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据波动的大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大说明射击水平稳定
答案 B
解析 平均数表示一组数据的集中趋势，平均数的大小并不能说明该组数据极差的大小，所以A错误；方差公式s2＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up9(n),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up9(－)))2，所以C错误；方差大说明射击水平不稳定，所以D错误．故选B.
2．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90,89,90,95,93,94,93.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．92,2 B．92,2.8 C．93,2 D．93,2.8
答案 B
解析 去掉一个最高分95与一个最低分89后，所得的5个数分别为90,90,93,94,93，
所以eq \(x,\s\up9(－))＝eq \f(90＋90＋93＋94＋93,5)＝eq \f(460,5)＝92，
s2＝eq \f(2×90－922＋2×93－922＋94－922,5)＝eq \f(14,5)＝2.8，故选B.
3．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人的成绩的标准差为( )
A.eq \r(3) B.eq \f(2\r(10),5) C．3 D.eq \f(8,5)
答案 B
解析 平均数为eq \f(5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10,100)＝3.故s2＝eq \f(1,100)×[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]＝eq \f(8,5).故s＝eq \r(\f(8,5))＝eq \f(2\r(10),5).
4．(多选)乐乐家共有七人，已知今年这七人岁数的众数为35、平均数为44、中位数为55、标准差为19.则5年后，下列说法中正确的有( )
A．这七人岁数的众数变为40
B．这七人岁数的平均数变为49
C．这七人岁数的中位数变为60
D．这七人岁数的标准差变为24
答案 ABC
解析 根据众数、平均数、中位数概念得5年后，相应增加5，而标准差不变．所以这七人岁数的众数变为40；平均数变为49；中位数变为60；标准差不变为19.即正确的有A，B，C.故选ABC.
5．若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的情况)不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是( )
A．甲同学：平均数为2，众数为1
B．乙同学：平均数为2，方差小于1
C．丙同学：中位数为2，众数为2
D．丁同学：众数为2，方差大于1
答案 B
解析 甲同学：若平均数为2，众数为1，则有一次名次应为4，故排除A；乙同学：平均数为2，设乙同学3次考试的名次分别为x1，x2，x3，则方差s2＝eq \f(1,3)[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2]<1，则(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2<3，所以x1，x2，x3均不大于3，符合题意；丙同学：中位数为2，众数为2，有可能是2,2,4，不符合题意；丁同学：有可能是2,2,6，不符合题意．故选B.
二、填空题
6．对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据．
上述统计数据的平均数是________，方差是________．
答案 44 7
解析 上述统计数据的平均数＝eq \f(1,8)×(40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋48)＝44，方差＝eq \f(1,8)×[(40－44)2＋(41－44)2＋(43－44)2＋(43－44)2＋(44－44)2＋(46－44)2＋(47－44)2＋(48－44)2]＝7.
7．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．
答案 4
解析 由题意可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，设x＝10＋t，y＝10－t，则t2＝4，|t|＝2，故|x－y|＝2|t|＝4.
8．某班有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班6名男生和4名女生在某次数学测验中的成绩，6名男生的成绩分别为86分，94分，88分，92分，90分，90分，4名女生的成绩分别为90分，93分，93分，88分，则下列说法：
①这种抽样方法是比例分配的分层随机抽样；
②该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数；
③这6名男生成绩的方差大于这4名女生成绩的方差；
④被抽取的10名学生成绩的平均数和方差分别为90.4分和6.04.
其中一定正确的是________(写出所有正确说法的序号)．
答案 ①③④
解析 因为该班有30名男生和20名女生且抽取的男生和女生的比为3∶2，所以这种抽样方法是比例分配的分层随机抽样，①正确；抽取的6名男生成绩的平均数eq \(x,\s\up9(－))男＝eq \f(86＋94＋88＋92＋90＋90,6)＝90(分)，抽取的4名女生成绩的平均数eq \(x,\s\up9(－))女＝eq \f(90＋93＋93＋88,4)＝91(分)，虽然eq \(x,\s\up9(－))男
三、解答题
9．已知母鸡产蛋的最佳温度在10 ℃左右，下面是在甲、乙两地六个时刻测得的温度，你认为甲、乙两地哪个地方更适合母鸡产蛋？
解 ①eq \(x,\s\up9(－))甲＝eq \f(1,6)×(－5＋7＋15＋14－4－3)＝4，
eq \(x,\s\up9(－))乙＝eq \f(1,6)×(1＋4＋10＋7＋2＋0)＝4.
②极差：甲地温度极差＝15－(－5)＝20；
乙地温度极差＝10－0＝10.
③标准差：
s甲＝ eq \r(\f(1,6)×[－5－42＋…＋－4－42＋－3－42])≈8.4；
s乙＝ eq \r(\f(1,6)×[1－42＋…＋2－42＋0－42])≈3.5.
显然两地的平均温度相等，乙地温度的极差、标准差较小，说明了乙地温度波动较小．
因此，乙地比甲地更适合母鸡产蛋．
10．某学校在上报《国家学生体质健康标准》高一年级学生的肺活量单项数据中，采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法．如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其肺活量平均数为3000 mL，方差为10；抽取了女生30人，其肺活量平均数为2500 mL，方差为20，估计高一年级全体学生肺活量的平均数与方差．
解 把男生样本记为x1，x2，…，x20，其平均数记为eq \(x,\s\up9(－))，方差记为seq \\al(2,x)；把女生样本记为y1，y2，…，y30，其平均数记为eq \(y,\s\up9(－))，方差记为seq \\al(2,y)；把总样本数据的平均数记为eq \(z,\s\up9(－))，方差记为s2.
由eq \(x,\s\up9(－))＝3000，eq \(y,\s\up9(－))＝2500，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为eq \(z,\s\up9(－))＝eq \f(20,20＋30)eq \(x,\s\up9(－))＋eq \f(30,20＋30)eq \(y,\s\up9(－))＝eq \f(2,5)×3000＋eq \f(3,5)×2500＝2700.
根据方差的定义，总样本方差为s2＝eq \f(1,50)[eq \i\su(i＝1,20, ) (xi－eq \(z,\s\up9(－)))2＋eq \i\su(j＝1,30, )(yj－eq \(z,\s\up9(－)))2]＝eq \f(1,50)[eq \i\su(i＝1,20, ) (xi－eq \(x,\s\up9(－))＋eq \(x,\s\up9(－))－eq \(z,\s\up9(－)))2＋eq \i\su(j＝1,30, ) (yj－eq \(y,\s\up9(－))＋eq \(y,\s\up9(－))－eq \(z,\s\up9(－)))2]．
由eq \i\su(i＝1,20, )(xi－eq \(x,\s\up9(－)))＝eq \i\su(i＝1,20,x)i－20eq \(x,\s\up9(－))＝0，
可得eq \i\su(i＝1,20,2)(xi－eq \(x,\s\up9(－)))(eq \(x,\s\up9(－))－eq \(z,\s\up9(－)))＝2(eq \(x,\s\up9(－))－eq \(z,\s\up9(－)))·eq \i\su(i＝1,20, )(xi－eq \(x,\s\up9(－)))＝0.
同理可得eq \i\su(j＝1,30,2)(yj－eq \(y,\s\up9(－)))(eq \(y,\s\up9(－))－eq \(z,\s\up9(－)))＝0.
因此s2＝eq \f(1,50)[eq \i\su(i＝1,20, ) (xi－eq \(x,\s\up9(－)))2＋eq \i\su(i＝1,20, ) (eq \(x,\s\up9(－))－eq \(z,\s\up9(－)))2＋eq \i\su(j＝1,30, )(yj－eq \(y,\s\up9(－)))2＋eq \i\su(j＝1,30, ) (eq \(y,\s\up9(－))－eq \(z,\s\up9(－)))2]＝eq \f(1,50)×{20[seq \\al(2,x)＋(eq \(x,\s\up9(－))－eq \(z,\s\up9(－)))2]＋30[seq \\al(2,y)＋(eq \(y,\s\up9(－))－eq \(z,\s\up9(－)))2]}＝eq \f(1,50)×{20×[102＋(3000－2700)2]＋30×[202＋(2500－2700)2]}＝60280.
据此估计高一年级全体学生肺活量的平均数为2700 mL，方差为60280.
等待时间/分
[0,5)
[5,10)
[10,15)
[15,20)
[20,25]
频数
4
8
5
2
1
组别
平均分
标准差
第1组
84
6
第2组
80
4
甲
乙
丙
丁
平均数eq \(x,\s\up9(－))
8.5
8.7
8.8
8.0
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.7
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
观测序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
观测数据ai
40
41
43
43
44
46
47
48
等待时间/分
[0,5)
[5,10)
[10,15)
[15,20)
[20,25]
频数
4
8
5
2
1
组别
平均分
标准差
第1组
84
6
第2组
80
4
甲
乙
丙
丁
平均数eq \(x,\s\up9(－))
8.5
8.7
8.8
8.0
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.7
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
观测序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
观测数据ai
40
41
43
43
44
46
47
48
相关学案
人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体学案： 这是一份人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体学案，文件包含924总体离散程度的估计导学案原卷版-2022-2023学年高一数学同步备课人教A版2019必修第二册docx、924总体离散程度的估计导学案答案版-2022-2023学年高一数学同步备课人教A版2019必修第二册docx等2份学案配套教学资源，其中学案共12页， 欢迎下载使用。
人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体学案： 这是一份人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体学案，共5页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。
高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.2 用样本估计总体导学案及答案： 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.2 用样本估计总体导学案及答案，共6页。
