高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直优秀导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直优秀导学案，共11页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A.有且只有一个 B.至多有一个
C.有一个或无数个 D.不存在
2.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
3.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )
A.α∥β，且m⊂α B.m∥n，且n⊥β
C.m⊥n，且n⊂β D.m⊥n，且n∥β
4.空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是( )
A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交
5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
13.(多选题)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
二、填空题
7.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.
8.平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________.
9.如图，四棱锥S－ABCD底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个.
①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角.
10.已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为________.
11.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面△A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(答案不唯一，填上你认为正确的一种条件即可).
三、解答题
12.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.
13.如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
14.如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq \r(5)，AA1＝eq \r(7)，BB1＝2eq \r(7)，点E和F分别为BC和A1C的中点.
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：直线AE⊥平面BCB1；
(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.
参考答案及解析
1.答案：B
解析：若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.
2.答案：C
解析：如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，且BC＝eq \f(1,2)AB，∠ABC为AB所在直线与平面α所成的角.
在Rt△ABC中，cs∠ABC＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(1,2)，∴∠ABC＝60°，即AB与平面α所成的角为60°.
3.答案：B
解析：A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C，D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意.故选B.
4.答案：C
解析：取BD中点O，连接AO，CO，
则BD⊥AO，BD⊥CO，且AO∩CO＝O，
∴BD⊥平面AOC，
又AC⊂平面AOC，
∴BD⊥AC，
又BD，AC异面，∴选C.
5.答案：B
解析：易证AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC.
6.答案：BD
解析：对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE.故选BD.
7.答案：90°
解析：∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°.
8.答案：垂直
解析：因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理PO⊥BD，又AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.
9.答案：4
解析：∵SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴SD⊥AC.∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，又SD∩BD＝D，
∴AC⊥平面SBD，而SB⊂平面SBD，
∴AC⊥SB，故①正确.
∵AB∥CD，AB⊄平面SDC，CD⊂平面SDC，
∴AB∥平面SCD，故②正确.
∵SD⊥平面ABCD，
∴SA在底面上的射影为AD，
∴SA与底面ABCD所成的角为∠SAD，③正确.
∵AB∥CD，故④也正确.
10.答案：eq \f(3,4)
解析：如图所示，取BC的中点D，连接SD，AD，则BC⊥AD.
过点A作AG⊥SD于点G，连接GB.
∵SA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥SA，又SA∩AD＝A，
∴BC⊥平面SAD.
又AG⊂平面SAD，∴AG⊥BC.
又AG⊥SD，SD∩BC＝D，
∴AG⊥平面SBC.
∴∠ABG即为直线AB与平面SBC所成的角.
∵AB＝2，SA＝3，
∴AD＝eq \r(3)，SD＝2eq \r(3).
在Rt△SAD中，AG＝eq \f(SA·AD,SD)＝eq \f(3,2).
∴sin∠ABG＝eq \f(AG,AB)＝eq \f(\f(3,2),2)＝eq \f(3,4).
11.答案：A1C1⊥B1C1(答案不唯一)
解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等).
12.证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BO.
又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥BB1，
又∵BO∩BB1＝B，BO，BB1⊂平面BB1O，
∴AC⊥平面BB1O，
又EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.
13.证明：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM，
∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN⊂平面PAM，
∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM，
∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
又PB⊂平面PBM，
∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.
14.(1)证明：如图，连接A1B.
在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.
又因为EF⊄平面A1B1BA，BA1⊂平面A1B1BA，
所以EF∥平面A1B1BA.
(2)证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，
所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，
所以BB1⊥平面ABC，
又AE⊂平面ABC，
从而BB1⊥AE.
又因为BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCB1，
所以AE⊥平面BCB1.
(3)解：取BB1的中点M和B1C的中点N，
连接A1M，A1N，NE.
因为N和E分别为B1C和BC的中点，
所以NE∥B1B，NE＝eq \f(1,2)B1B，
故NE∥A1A且NE＝A1A，
所以A1N∥AE，且A1N＝AE.
又因为AE⊥平面BCB1，
所以A1N⊥平面BCB1，
从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角.
在△ABC中，可得AE＝2，
所以A1N＝AE＝2.
因为BM∥AA1，BM＝AA1，
所以四边形MBAA1为平行四边形，
所以A1M∥AB，A1M＝AB，
又由AB⊥BB1，得A1M⊥BB1.
在Rt△A1MB1中，
可得A1B1＝eq \r(B1M2＋A1M2)＝4.
在Rt△A1NB1中，
sin∠A1B1N＝eq \f(A1N,A1B1)＝eq \f(1,2)，
因此∠A1B1N＝30°.
所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.