人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积优质学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积优质学案及答案，共6页。

A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)
2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )
A．48eq \r(6)B．64
C．16 D．96
3．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于( )
A．1∶9B．1∶8
4．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是( )
A．eq \r(3) B．eq \r(2) C．eq \f(2,\r(3)) D．eq \f(\r(3),2)
5．四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为z，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是( )
A．eq \f(1,x)＝eq \f(1,y)＋eq \f(1,z) B．eq \f(1,y)＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,z)
C．eq \f(1,z)＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,y) D．eq \f(1,z)＝eq \f(1,x＋y)
6．已知一个长方体的三个面的面积分别是eq \r(2)，eq \r(3)，eq \r(6)，则这个长方体的体积为________．
7．(一题两空)已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________．
8.如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，则点A到平面A1BD的距离d＝________.
9．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝eq \r(13)，BC＝AD＝2eq \r(5)，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．
10．如图，已知正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
11．正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为( )
A．3π B．eq \f(4,3) C．eq \f(3,2)πD．1
12．正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为( )
A．eq \f(4\r(2),3) B．eq \r(2) C．eq \f(2\r(2),3) D．eq \f(\r(2),3)
13．(一题两空)已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．
14．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．
15．一个正三棱锥P­ABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1­A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0分别在底面△ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？
解析
1．解析C ∵VC­A′B′C′＝eq \f(1,3)VABC­A′B′C′＝eq \f(1,3)，∴VC­AA′B′B＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
2．解析 B
3．解析B 两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8，故选B．
4．解析A 如图所示，正方体的A′、C′、D、B的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为a，
则正四面体边长为eq \r(2)a.
∴正方体表面积S1＝6a2，
正四面体表面积为
S2＝4×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(2)a)2＝2eq \r(3)a2，
∴eq \f(S1,S2)＝eq \f(6a2,2\r(3)a2)＝eq \r(3).
5．解析C 由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为h′，则根据条件得，
消去h′得，4z2(x＋y)2＋(y－x)2(y＋x)2＝(x2＋y2)2.
∴4z2(x＋y)2＝4x2y2，
∴z(x＋y)＝xy，
∴eq \f(1,z)＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,y).
6．解析eq \r(6) 设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝eq \r(6).
7．解析eq \r(3) eq \f(\r(2),12) S表＝4×eq \f(\r(3),4)×12＝eq \r(3)，
V体＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×12× eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3))) eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(2),12).
8. 解析eq \f(\r(3),3)a 在三棱锥A1­ABD中，AA1是三棱锥A1­ABD的高，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝eq \r(2)a，
∵V三棱锥A1­ABD＝V三棱锥A­A1BD，
∴eq \f(1,3)×eq \f(1,2)a2×a＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \r(2)a×eq \f(\r(3),2)×eq \r(2)a×d，
∴d＝eq \f(\r(3),3)a.
∴点A到平面A1BD的距离为eq \f(\r(3),3)a.
9． 解析 以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图．
设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝13，,y2＋z2＝20，,x2＋z2＝25，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2，,z＝4.))
∵VD­ABE＝eq \f(1,3)DE·S△ABE＝eq \f(1,6)V长方体，
同理，VC­ABF＝VD­ACG＝VD­BCH＝eq \f(1,6)V长方体，
∴V四面体ABCD＝V长方体－4×eq \f(1,6)V长方体＝eq \f(1,3)V长方体．
而V长方体＝2×3×4＝24，∴V四面体ABCD＝8.
10．解析 如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.
∵S侧＝2S底，
∴eq \f(1,2)·3a·h′＝eq \f(\r(3),4)a2×2.
∴a＝eq \r(3)h′.
∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.
∴32＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))eq \s\up12(2)＝h′2.
∴h′＝2eq \r(3)，∴a＝eq \r(3)h′＝6.
∴S底＝eq \f(\r(3),4)a2＝eq \f(\r(3),4)×62＝9eq \r(3)，S侧＝2S底＝18eq \r(3).
∴S表＝S侧＋S底＝18eq \r(3)＋9eq \r(3)＝27eq \r(3).
11．解析B 如图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等．四棱锥的底面为正方形，且边长为eq \r(2)，故底面积为(eq \r(2))2＝2；四棱锥的高为1，故四棱锥的体积为eq \f(1,3)×2×1＝eq \f(2,3).则几何体的体积为2×eq \f(2,3)＝eq \f(4,3).
12．解析D 由题意，正三棱锥的底面周长为6，所以正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，可知侧棱长均为eq \r(2)，三条侧棱两两垂直，所以此三棱锥的体积为eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)×eq \r(2)＝eq \f(\r(2),3).
13．解析
90 138 该几何体的体积V＝4×6×3＋eq \f(1,2)×4×3×3＝90，表面积S＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋eq \f(1,2)×4×3×2＋eq \r(32＋42)×3＋3×4＝138.
14．解析 如图，连接EB，EC．四棱锥E­ABCD的体积
V四棱锥E­ABCD＝eq \f(1,3)×42×3＝16.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥F­EBC＝V三棱锥C­EFB＝eq \f(1,2)V三棱锥C­ABE＝eq \f(1,2)V三棱锥E­ABC＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)V四棱锥E­ABCD＝4.
∴多面体的体积V＝V四棱锥E­ABCD＋V三棱锥F­EBC＝16＋4＝20.
15．解析 设三棱锥的底面中心为O，连接PO(图略)，则PO为三棱锥的高，设A1，B1，C1所在的底面与PO交于O1点，则eq \f(A1B1,AB)＝eq \f(PO1,PO)，令A1B1＝x，而PO＝h，则PO1＝eq \f(h,a)x，
于是OO1＝h－PO1＝h－eq \f(h,a)x＝heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x,a))).
所以所求三棱柱的侧面积为S＝3x·heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x,a)))＝eq \f(3h,a)(a－x)x＝eq \f(3h,a)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a2,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)))eq \s\up12(2))).当x＝eq \f(a,2)时，S有最大值为eq \f(3,4)ah，此时O1为PO的中点．