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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.2 用样本估计总体优质学案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.2 用样本估计总体优质学案，共19页。
知识点一 频率分布直方图的画法
1.调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如下：
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 168 160 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
(1)作出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图．
解 (1)最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是180－151＝29 cm，即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下：
(2)频率分布直方图如图所示．
知识点二 频率分布直方图的应用
2.如图是某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x的值为( )
A．0.120 B．0.180 C．0.012 D．0.018
3．如图是某中学高一学生体重(单位：kg)的频率分布直方图，已知图中从左到右的前三组的频率之比为1∶2∶3，则第三小组的频率为( )
A．0.125 B．0.250 C．0.375 D．0.500
4．某班全体学生英语测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )
A．45 B．50 C．55 D．60
5．在样本的频率分布直方图中共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积的eq \f(1,7)，且样本量为3200，则中间一组的频数为________．
6．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[1500,2000)(单位：元)内的应抽取________人．
7．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率．
知识点三 统计图表的应用
8.某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的柱形图．请结合柱形图回答下列问题：
(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？
(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？
(3)若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
一、选择题
1．在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽查出的个体在该组内的频率为m，该组的直方图高为h，则|a－b|＝( )
A．hm B.eq \f(m,h) C.eq \f(h,m) D．h＋m
2．为配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理．欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是( )
A．条形统计图 B．频率分布直方图
C．折线统计图 D．扇形统计图
3．为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10000位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要用比例分配的分层随机抽样从这10000位居民中抽出100位居民做进一步调查，则在[2.5,3.0)(小时)时间段内应抽出的人数是( )
A．25 B．30 C．50 D．75
4．某工厂对一批元件进行抽样检测、经检测，抽出的元件的长度(单位：mm)全部介于93至105之间．将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：[93,95)，[95,97)，[97,99)，[99 ,101)，[101, 103)，[103,105]，得到如图所示的频率分布直方图．若长度在[97,103)内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的合格率是( )
A．80% B．90% C．20% D．85.5%
5．(多选)统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分)，根据成绩依次分成六组：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110，则下列说法正确的是( )
A．m＝0.031
B．n＝800
C．100分以下的人数为60
D．成绩在区间[120,140)内的人数占大半
二、填空题
6．某地为了了解该地区10000户家庭的用电情况，采用分层随机抽样的方法抽取了500户家庭的月平均用电量，并根据这500户家庭的月平均用电量画出频率分布直方图如图所示，则该地区10000户家庭中月平均用电度数在[70,80)内的家庭约有________户．
7．已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示(每组为左开右闭区间)．则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________．
8．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查，统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：
(1)年龄组[25,30)对应小矩形的高度为________；
(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)内的人数为________．
三、解答题
9．下表给出了在某校500名10岁学生中，用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm)．
(1)列出样本频率分布表(频率精确到0.01)；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比．
10．某购物广场某营销部门随机抽查了100名市民在2020年国庆长假期间在购物广场的消费金额，所得数据如表所示，已知消费金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2.
(1)试确定x，y，p，q的值；
(2)补全频率分布直方图；
(3)用分层随机抽样的方法从消费金额在(0,1]，(1,2]和(4,5]的三个群体中共抽取7人进行问卷调查，则各小组应抽取几人？
9.2 用样本估计总体
9.2.1 总体取值规律的估计
知识点一 频率分布直方图的画法
1.调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如下：
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 168 160 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
(1)作出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图．
解 (1)最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是180－151＝29 cm，即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下：
(2)频率分布直方图如图所示．
知识点二 频率分布直方图的应用
2.如图是某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x的值为( )
A．0.120 B．0.180 C．0.012 D．0.018
答案 D
解析 由图可知纵坐标表示eq \f(频率,组距).故x＝0.1－0.054－0.010－0.006－0.006－0.006＝0.018.
3．如图是某中学高一学生体重(单位：kg)的频率分布直方图，已知图中从左到右的前三组的频率之比为1∶2∶3，则第三小组的频率为( )
A．0.125 B．0.250 C．0.375 D．0.500
答案 C
解析 由频率分布直方图，知前三组的频率之和为1－(0.0125＋0.0375)×5＝0.750，所以第三小组的频率为0.750×eq \f(3,1＋2＋3)＝0.375，故选C.
4．某班全体学生英语测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )
A．45 B．50 C．55 D．60
答案 B
解析 根据频率分布直方图，可知低于60分的人数的频率是(0.005＋0.010)×20＝0.3，所以该班的学生人数是eq \f(15,0.3)＝50.
5．在样本的频率分布直方图中共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积的eq \f(1,7)，且样本量为3200，则中间一组的频数为________．
答案 400
解析 因为中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积的eq \f(1,7)，所以中间一个小矩形的面积为所有矩形面积和的eq \f(1,8)，因此中间一组的频数为3200×eq \f(1,8)＝400.
6．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[1500,2000)(单位：元)内的应抽取________人．
答案 40
解析 月收入在[1500,2000)的频率为1－(0.0002＋0.0005×2＋0.0003＋0.0001)×500＝0.2，故应抽取200×0.2＝40人．
7．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率．
解 (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为eq \f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.
又第二小组的频率＝eq \f(第二小组的频数,样本量)，
所以样本量＝eq \f(第二小组的频数,第二小组的频率)＝eq \f(12,0.08)＝150.
(2)由题意估计该学校高一学生的达标率约为
eq \f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%.
知识点三 统计图表的应用
8.某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的柱形图．请结合柱形图回答下列问题：
(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？
(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？
(3)若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
解 (1)由图1知4＋8＋10＋18＋10＝50(名)，所以该校对50名学生进行了抽样调查．
(2)本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，占被调查人数的eq \f(18,50)×100%＝36%.
(3)1－(30%＋26%＋24%)＝20%,200÷20%＝1000(人)，eq \f(8,50)×100%×1000＝160(人)，
所以估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160.
一、选择题
1．在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽查出的个体在该组内的频率为m，该组的直方图高为h，则|a－b|＝( )
A．hm B.eq \f(m,h) C.eq \f(h,m) D．h＋m
答案 B
解析 根据频率分布直方图中每组的高为eq \f(频率,组距)，可知eq \f(m,|a－b|)＝h，所以|a－b|＝eq \f(m,h).故选B.
2．为配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理．欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是( )
A．条形统计图 B．频率分布直方图
C．折线统计图 D．扇形统计图
答案 D
解析 欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是扇形统计图，故选D.
3．为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10000位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要用比例分配的分层随机抽样从这10000位居民中抽出100位居民做进一步调查，则在[2.5,3.0)(小时)时间段内应抽出的人数是( )
A．25 B．30 C．50 D．75
答案 A
解析 抽出的100位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3.0)(小时)内的频率为0.5×0.5＝0.25，所以这10000位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3.0)(小时)内的人数是10000×0.25＝2500.依题意知抽样比是eq \f(100,10000)＝eq \f(1,100)，则在[2.5,3.0)(小时)时间段内应抽出的人数是2500×eq \f(1,100)＝25.
4．某工厂对一批元件进行抽样检测、经检测，抽出的元件的长度(单位：mm)全部介于93至105之间．将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：[93,95)，[95,97)，[97,99)，[99 ,101)，[101, 103)，[103,105]，得到如图所示的频率分布直方图．若长度在[97,103)内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的合格率是( )
A．80% B．90% C．20% D．85.5%
答案 A
解析 由频率分布直方图可知元件长度在[97,103)内的频率为1－(0.0275＋0.0275＋0.0450)×2＝0.8，故这批元件的合格率为80%.
5．(多选)统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分)，根据成绩依次分成六组：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110，则下列说法正确的是( )
A．m＝0.031
B．n＝800
C．100分以下的人数为60
D．成绩在区间[120,140)内的人数占大半
答案 AC
解析 分析可知，10×(m＋0.020＋0.016＋0.016＋0.011＋0.006)＝1，解得m＝0.031，故A说法正确；因为不低于140分的频率为0.011×10＝0.11，所以n＝eq \f(110,0.11)＝1000，故B说法错误；因为100分以下的频率为0.006×10＝0.06，所以100分以下的人数为1000×0.06＝60，故C说法正确；成绩在区间[120,140)内的频率为0.031×10＋0.016×10＝0.47＜0.5，人数占小半，故D说法错误．
二、填空题
6．某地为了了解该地区10000户家庭的用电情况，采用分层随机抽样的方法抽取了500户家庭的月平均用电量，并根据这500户家庭的月平均用电量画出频率分布直方图如图所示，则该地区10000户家庭中月平均用电度数在[70,80)内的家庭约有________户．
答案 1200
解析 根据频率分布直方图得该地区10000户家庭中月平均用电度数在[70, 80)内的家庭约有10000×0.012×10＝1200(户)．
7．已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示(每组为左开右闭区间)．则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________．
答案 30
解析 根据频率分布直方图，得消费支出超过150元的频率为(0.004＋0.002)×50＝0.3，故消费支出超过150元的人数是100×0.3＝30.
8．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查，统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：
(1)年龄组[25,30)对应小矩形的高度为________；
(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)内的人数为________．
答案 (1)0.04 (2)440
解析 (1)设年龄组[25,30)对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.
(2)由(1)得志愿者年龄在[25,35)内的频率为5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25,35)内的人数约为0.55×800＝440.
三、解答题
9．下表给出了在某校500名10岁学生中，用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm)．
(1)列出样本频率分布表(频率精确到0.01)；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比．
解 (1)样本频率分布表如下：
(2)其频率分布直方图如下：
(3)由样本频率分布表可知，身高小于134 cm的学生出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.
10．某购物广场某营销部门随机抽查了100名市民在2020年国庆长假期间在购物广场的消费金额，所得数据如表所示，已知消费金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2.
(1)试确定x，y，p，q的值；
(2)补全频率分布直方图；
(3)用分层随机抽样的方法从消费金额在(0,1]，(1,2]和(4,5]的三个群体中共抽取7人进行问卷调查，则各小组应抽取几人？
解 (1)根据题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8＋12＋x＋y＋8＋7＝100，,\f(8＋12＋x,y＋8＋7)＝\f(3,2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝40，,y＝25，))所以p＝eq \f(40,100)＝0.40，q＝eq \f(25,100)＝0.25.
(2)补全频率分布直方图如图所示：
(3)根据题意，消费金额在(0,1]的群体中应抽取的人数为eq \f(8,8＋12＋8)×7＝2；消费金额在(1,2]的群体中应抽取的人数为eq \f(12,8＋12＋8)×7＝3；消费金额在(4,5]的群体中应抽取的人数为eq \f(8,8＋12＋8)×7＝2.
分组
频数累计
频数
频率
[149.5,153.5)
一
1
0.025
[153.5,157.5)
3
0.075
[157.5,161.5)
6
0.15
[161.5,165.5)
9
0.225
[165.5,169.5)
14
0.35
[169.5,173.5)
3
0.075
[173.5,177.5)
3
0.075
[177.5,181.5]
一
1
0.025
合计
40
1
区间
界限
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
人数
5
8
10
22
33
区间
界限
[142,146)
[146,150)
[150,154)
[154,158]
人数
20
11
6
5
消费金额/千元
人数
频率
(0,1]
8
0.08
(1,2]
12
0.12
(2,3]
x
p
(3,4]
y
q
(4,5]
8
0.08
(5,6]
7
0.07
合计
100
1.00
分组
频数累计
频数
频率
[149.5,153.5)
一
1
0.025
[153.5,157.5)
3
0.075
[157.5,161.5)
6
0.15
[161.5,165.5)
9
0.225
[165.5,169.5)
14
0.35
[169.5,173.5)
3
0.075
[173.5,177.5)
3
0.075
[177.5,181.5]
一
1
0.025
合计
40
1
区间
界限
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
人数
5
8
10
22
33
区间
界限
[142,146)
[146,150)
[150,154)
[154,158]
人数
20
11
6
5
分组
频数
频率
[122,126)
5
0.04
[126,130)
8
0.07
[130,134)
10
0.08
[134,138)
22
0.18
[138,142)
33
0.28
[142,146)
20
0.17
[146,150)
11
0.09
[150,154)
6
0.05
[154,158]
5
0.04
合计
120
1
消费金额/千元
人数
频率
(0,1]
8
0.08
(1,2]
12
0.12
(2,3]
x
p
(3,4]
y
q
(4,5]
8
0.08
(5,6]
7
0.07
合计
100
1.00
知识点一 频率分布直方图的画法
1.调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如下：
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 168 160 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
(1)作出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图．
解 (1)最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是180－151＝29 cm，即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下：
(2)频率分布直方图如图所示．
知识点二 频率分布直方图的应用
2.如图是某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x的值为( )
A．0.120 B．0.180 C．0.012 D．0.018
3．如图是某中学高一学生体重(单位：kg)的频率分布直方图，已知图中从左到右的前三组的频率之比为1∶2∶3，则第三小组的频率为( )
A．0.125 B．0.250 C．0.375 D．0.500
4．某班全体学生英语测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )
A．45 B．50 C．55 D．60
5．在样本的频率分布直方图中共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积的eq \f(1,7)，且样本量为3200，则中间一组的频数为________．
6．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[1500,2000)(单位：元)内的应抽取________人．
7．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率．
知识点三 统计图表的应用
8.某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的柱形图．请结合柱形图回答下列问题：
(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？
(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？
(3)若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
一、选择题
1．在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽查出的个体在该组内的频率为m，该组的直方图高为h，则|a－b|＝( )
A．hm B.eq \f(m,h) C.eq \f(h,m) D．h＋m
2．为配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理．欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是( )
A．条形统计图 B．频率分布直方图
C．折线统计图 D．扇形统计图
3．为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10000位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要用比例分配的分层随机抽样从这10000位居民中抽出100位居民做进一步调查，则在[2.5,3.0)(小时)时间段内应抽出的人数是( )
A．25 B．30 C．50 D．75
4．某工厂对一批元件进行抽样检测、经检测，抽出的元件的长度(单位：mm)全部介于93至105之间．将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：[93,95)，[95,97)，[97,99)，[99 ,101)，[101, 103)，[103,105]，得到如图所示的频率分布直方图．若长度在[97,103)内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的合格率是( )
A．80% B．90% C．20% D．85.5%
5．(多选)统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分)，根据成绩依次分成六组：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110，则下列说法正确的是( )
A．m＝0.031
B．n＝800
C．100分以下的人数为60
D．成绩在区间[120,140)内的人数占大半
二、填空题
6．某地为了了解该地区10000户家庭的用电情况，采用分层随机抽样的方法抽取了500户家庭的月平均用电量，并根据这500户家庭的月平均用电量画出频率分布直方图如图所示，则该地区10000户家庭中月平均用电度数在[70,80)内的家庭约有________户．
7．已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示(每组为左开右闭区间)．则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________．
8．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查，统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：
(1)年龄组[25,30)对应小矩形的高度为________；
(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)内的人数为________．
三、解答题
9．下表给出了在某校500名10岁学生中，用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm)．
(1)列出样本频率分布表(频率精确到0.01)；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比．
10．某购物广场某营销部门随机抽查了100名市民在2020年国庆长假期间在购物广场的消费金额，所得数据如表所示，已知消费金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2.
(1)试确定x，y，p，q的值；
(2)补全频率分布直方图；
(3)用分层随机抽样的方法从消费金额在(0,1]，(1,2]和(4,5]的三个群体中共抽取7人进行问卷调查，则各小组应抽取几人？
9.2 用样本估计总体
9.2.1 总体取值规律的估计
知识点一 频率分布直方图的画法
1.调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如下：
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 168 160 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
(1)作出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图．
解 (1)最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是180－151＝29 cm，即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下：
(2)频率分布直方图如图所示．
知识点二 频率分布直方图的应用
2.如图是某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x的值为( )
A．0.120 B．0.180 C．0.012 D．0.018
答案 D
解析 由图可知纵坐标表示eq \f(频率,组距).故x＝0.1－0.054－0.010－0.006－0.006－0.006＝0.018.
3．如图是某中学高一学生体重(单位：kg)的频率分布直方图，已知图中从左到右的前三组的频率之比为1∶2∶3，则第三小组的频率为( )
A．0.125 B．0.250 C．0.375 D．0.500
答案 C
解析 由频率分布直方图，知前三组的频率之和为1－(0.0125＋0.0375)×5＝0.750，所以第三小组的频率为0.750×eq \f(3,1＋2＋3)＝0.375，故选C.
4．某班全体学生英语测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )
A．45 B．50 C．55 D．60
答案 B
解析 根据频率分布直方图，可知低于60分的人数的频率是(0.005＋0.010)×20＝0.3，所以该班的学生人数是eq \f(15,0.3)＝50.
5．在样本的频率分布直方图中共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积的eq \f(1,7)，且样本量为3200，则中间一组的频数为________．
答案 400
解析 因为中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积的eq \f(1,7)，所以中间一个小矩形的面积为所有矩形面积和的eq \f(1,8)，因此中间一组的频数为3200×eq \f(1,8)＝400.
6．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[1500,2000)(单位：元)内的应抽取________人．
答案 40
解析 月收入在[1500,2000)的频率为1－(0.0002＋0.0005×2＋0.0003＋0.0001)×500＝0.2，故应抽取200×0.2＝40人．
7．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率．
解 (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为eq \f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.
又第二小组的频率＝eq \f(第二小组的频数,样本量)，
所以样本量＝eq \f(第二小组的频数,第二小组的频率)＝eq \f(12,0.08)＝150.
(2)由题意估计该学校高一学生的达标率约为
eq \f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%.
知识点三 统计图表的应用
8.某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的柱形图．请结合柱形图回答下列问题：
(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？
(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？
(3)若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
解 (1)由图1知4＋8＋10＋18＋10＝50(名)，所以该校对50名学生进行了抽样调查．
(2)本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，占被调查人数的eq \f(18,50)×100%＝36%.
(3)1－(30%＋26%＋24%)＝20%,200÷20%＝1000(人)，eq \f(8,50)×100%×1000＝160(人)，
所以估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160.
一、选择题
1．在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽查出的个体在该组内的频率为m，该组的直方图高为h，则|a－b|＝( )
A．hm B.eq \f(m,h) C.eq \f(h,m) D．h＋m
答案 B
解析 根据频率分布直方图中每组的高为eq \f(频率,组距)，可知eq \f(m,|a－b|)＝h，所以|a－b|＝eq \f(m,h).故选B.
2．为配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理．欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是( )
A．条形统计图 B．频率分布直方图
C．折线统计图 D．扇形统计图
答案 D
解析 欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是扇形统计图，故选D.
3．为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10000位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要用比例分配的分层随机抽样从这10000位居民中抽出100位居民做进一步调查，则在[2.5,3.0)(小时)时间段内应抽出的人数是( )
A．25 B．30 C．50 D．75
答案 A
解析 抽出的100位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3.0)(小时)内的频率为0.5×0.5＝0.25，所以这10000位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3.0)(小时)内的人数是10000×0.25＝2500.依题意知抽样比是eq \f(100,10000)＝eq \f(1,100)，则在[2.5,3.0)(小时)时间段内应抽出的人数是2500×eq \f(1,100)＝25.
4．某工厂对一批元件进行抽样检测、经检测，抽出的元件的长度(单位：mm)全部介于93至105之间．将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：[93,95)，[95,97)，[97,99)，[99 ,101)，[101, 103)，[103,105]，得到如图所示的频率分布直方图．若长度在[97,103)内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的合格率是( )
A．80% B．90% C．20% D．85.5%
答案 A
解析 由频率分布直方图可知元件长度在[97,103)内的频率为1－(0.0275＋0.0275＋0.0450)×2＝0.8，故这批元件的合格率为80%.
5．(多选)统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分)，根据成绩依次分成六组：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110，则下列说法正确的是( )
A．m＝0.031
B．n＝800
C．100分以下的人数为60
D．成绩在区间[120,140)内的人数占大半
答案 AC
解析 分析可知，10×(m＋0.020＋0.016＋0.016＋0.011＋0.006)＝1，解得m＝0.031，故A说法正确；因为不低于140分的频率为0.011×10＝0.11，所以n＝eq \f(110,0.11)＝1000，故B说法错误；因为100分以下的频率为0.006×10＝0.06，所以100分以下的人数为1000×0.06＝60，故C说法正确；成绩在区间[120,140)内的频率为0.031×10＋0.016×10＝0.47＜0.5，人数占小半，故D说法错误．
二、填空题
6．某地为了了解该地区10000户家庭的用电情况，采用分层随机抽样的方法抽取了500户家庭的月平均用电量，并根据这500户家庭的月平均用电量画出频率分布直方图如图所示，则该地区10000户家庭中月平均用电度数在[70,80)内的家庭约有________户．
答案 1200
解析 根据频率分布直方图得该地区10000户家庭中月平均用电度数在[70, 80)内的家庭约有10000×0.012×10＝1200(户)．
7．已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示(每组为左开右闭区间)．则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________．
答案 30
解析 根据频率分布直方图，得消费支出超过150元的频率为(0.004＋0.002)×50＝0.3，故消费支出超过150元的人数是100×0.3＝30.
8．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查，统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：
(1)年龄组[25,30)对应小矩形的高度为________；
(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)内的人数为________．
答案 (1)0.04 (2)440
解析 (1)设年龄组[25,30)对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.
(2)由(1)得志愿者年龄在[25,35)内的频率为5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25,35)内的人数约为0.55×800＝440.
三、解答题
9．下表给出了在某校500名10岁学生中，用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm)．
(1)列出样本频率分布表(频率精确到0.01)；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比．
解 (1)样本频率分布表如下：
(2)其频率分布直方图如下：
(3)由样本频率分布表可知，身高小于134 cm的学生出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.
10．某购物广场某营销部门随机抽查了100名市民在2020年国庆长假期间在购物广场的消费金额，所得数据如表所示，已知消费金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2.
(1)试确定x，y，p，q的值；
(2)补全频率分布直方图；
(3)用分层随机抽样的方法从消费金额在(0,1]，(1,2]和(4,5]的三个群体中共抽取7人进行问卷调查，则各小组应抽取几人？
解 (1)根据题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8＋12＋x＋y＋8＋7＝100，,\f(8＋12＋x,y＋8＋7)＝\f(3,2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝40，,y＝25，))所以p＝eq \f(40,100)＝0.40，q＝eq \f(25,100)＝0.25.
(2)补全频率分布直方图如图所示：
(3)根据题意，消费金额在(0,1]的群体中应抽取的人数为eq \f(8,8＋12＋8)×7＝2；消费金额在(1,2]的群体中应抽取的人数为eq \f(12,8＋12＋8)×7＝3；消费金额在(4,5]的群体中应抽取的人数为eq \f(8,8＋12＋8)×7＝2.
分组
频数累计
频数
频率
[149.5,153.5)
一
1
0.025
[153.5,157.5)
3
0.075
[157.5,161.5)
6
0.15
[161.5,165.5)
9
0.225
[165.5,169.5)
14
0.35
[169.5,173.5)
3
0.075
[173.5,177.5)
3
0.075
[177.5,181.5]
一
1
0.025
合计
40
1
区间
界限
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
人数
5
8
10
22
33
区间
界限
[142,146)
[146,150)
[150,154)
[154,158]
人数
20
11
6
5
消费金额/千元
人数
频率
(0,1]
8
0.08
(1,2]
12
0.12
(2,3]
x
p
(3,4]
y
q
(4,5]
8
0.08
(5,6]
7
0.07
合计
100
1.00
分组
频数累计
频数
频率
[149.5,153.5)
一
1
0.025
[153.5,157.5)
3
0.075
[157.5,161.5)
6
0.15
[161.5,165.5)
9
0.225
[165.5,169.5)
14
0.35
[169.5,173.5)
3
0.075
[173.5,177.5)
3
0.075
[177.5,181.5]
一
1
0.025
合计
40
1
区间
界限
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
人数
5
8
10
22
33
区间
界限
[142,146)
[146,150)
[150,154)
[154,158]
人数
20
11
6
5
分组
频数
频率
[122,126)
5
0.04
[126,130)
8
0.07
[130,134)
10
0.08
[134,138)
22
0.18
[138,142)
33
0.28
[142,146)
20
0.17
[146,150)
11
0.09
[150,154)
6
0.05
[154,158]
5
0.04
合计
120
1
消费金额/千元
人数
频率
(0,1]
8
0.08
(1,2]
12
0.12
(2,3]
x
p
(3,4]
y
q
(4,5]
8
0.08
(5,6]
7
0.07
合计
100
1.00
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