初中第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法随堂练习题

苏科版九年级数学上册靶向培优训练

1.2一元二次方程的解法配方法（1）

一、选择题

1．把方程左边化成含有x的完全平方式，其中正确的是

A.  B.

C.  D.

2．不论x、y为何有理数，的值均为      

A. 正数 B. 零 C. 负数 D. 非负数

3．对于多项式，由于，所以的最小值为3，  已知关于x的多项式的最大值为10，则m的值为   

A. 1 B.  C.  D.

4．若一元二次方程式的两根为a、b，且，则的值为

A.  B. 63 C. 179 D. 181

5．方程的左边配成完全平方后所得方程为

A.  B.  C.  D.

6．方程的一个较小的根为，下面对的估算正确的是   

A.  B.  C.  D.

7．设a、b是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是

A.  B. ，

C.  D. ，

二、填空题

8．已知一元二次方程可以配方成，则以m，n为两边长的等腰三角形的周长为          ．

9．把方程化为两个二元一次方程，它们是______和______．

10．已知，且，则______．

11．若x满足，则的值是_____

12．已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，则这个等腰三角形的周长为______．

13．在中，两边a，b满足，则第三边长等于______．

三、计算题

14．阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，

因为，

所以，

当时，，

因此有最小值1，即的最小值为1．

通过阅读，解下列问题：

代数式的最小值为______；

求代数式的最大或最小值；

试比较代数式与的大小，并说明理由．

15．用配方法解下列方程：

        ．

16．用配方法解下列方程：

；

；

．

四、解答题

17．根据要求，解答下列问题：

方程的解为____；

方程的解为____；

方程的解为____；

根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：

方程的解为____；

关于x的方程____的解为，．

请用配方法解方程，以验证猜想结论的正确性．

18．有n个方程：．小静同学解第1个方程的步骤如下：

，．

小静的解题步骤是从第几步开始出现错误的请写出正确的解题步骤

• 用配方法解第n个方程用含有n的式子表示方程的根

19．阅读下列材料：

利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．

运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．

例如：

根据以上材料，解答下列问题：

用多项式的配方法将化成的形式分解因式．

求证：x，y取任何实数时，多项式的值总为正数．

【参考答案】

一、选择题

1．B

【解析】

【分析】

本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．利用方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可判断．

【解答】

解：，

，

即，

故选B．  

2．A

【解析】

【分析】

本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性判断即可．

【解答】

解：

，

，，

，

即不论x，y为何有理数，的值均为正数．

故选A．  

3．B

【解析】

【分析】

本题考查了配方法解一元二次方程的方法，将关于x的多项式配方成，即可确定m的值．

【解答】

解：，

又关于x的多项式的最大值为10，

，

，

故选B．  

4．D

【解析】解：，

移项得：，

，

即，

，，

解得：，，

一元二次方程式的两根为a、b，且，

，，

，

故选D．

配方得出，推出，，求出x的值，求出a、b的值，代入求出即可．

本题考查了有理数的混合运算和解一元二次方程的应用，能求出a、b的值是解此题的关键，主要培养学生解一元二次方程的能力，题型较好，难度适中．

5．A

【解析】解：移项得：，

配方可得：，

即，

故选：A．

根据配方法的步骤进行配方即可．

本题主要考查一元二次方程的解法，掌握配方法的步骤是解题的关键．

6．C

【解析】略

7．C

【解析】解：，

，

整理得：，即，

解得：．

故选：C．

根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，左边化为完全平方式，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．

此题考查了解一元二次方程配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．

二、填空题

8．10或11

【解析】方程配方，得，

，，即．

当3为等腰三角形的腰长时，三边长分别为3，3，4，则周长为

当4为等腰三角形的腰长时，三边长分别为3，4，4，则周长为．

9．；

【解析】解：，

，

或，

故答案为：和 ．

先把方程左边分解得到，则原方程可转化为或．

本题考查了解一元二次方程--因式分解法：通常利用换元法或因式分解法把高次方程化为一元二次方程求解．

10．2

【解析】解：，

，

，

，，，

，

，

，，

．

故答案为：2．

先将已知，移项后配方得：，由平方的非负性得，代入可得结论．

本题考查了配方法的应用，平方的非负性，求代数式的值，灵活运用配方法解决问题是关键．

11．7

【解析】

【分析】

把方程移项变为，然后两边同时除以x即可得出答案．

【解答】

解：，即，

等式两边同时除以x得：．

故答案为7．  

12．10或11

【解析】解：，

，

，

解得，，，

当a是腰长时，等腰三角形的周长，

当b是腰长时，等腰三角形的周长，

故答案为：10或11．

根据配方法把原式变形，根据非负数的性质分别求出a、b，分a是腰长、b是腰长两种情况计算，得到答案．

本题考查的是配方法的应用、等腰三角形的概念，掌握用配方法、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．

13．5或

【解析】解：，

．

且．

则，．

当b是的直角边时，由勾股定理知，第三边的长度；

当b是的斜边时，由勾股定理知，第三边的长度；

综上所述，第三边的长度是5或．

故答案是：5或．

先运用分组分解法进行因式分解，求出a，b的值；然后对该直角三角形的斜边进行分类讨论，由勾股定理求得该直角三角形的三边长度即可．

此题考查了配方法的应用，非负数的性质以及勾股定理，解题的关键熟练掌握完全平方公式．

三、计算题

14．3

【解析】解：

，

当时，，

因此有最小值3，即代数式的最小值为3；

故答案是：3．

由于，所以

当时，，

则最大值为10；

由于

，即．

、原式配方变形后，利用非负数的性质即可求出最值；

利用作差法比较两个代数式的大小．

此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

15．解：，；

，；       

，；

，．

【解析】见答案．

16．解：移项，得，即，

配方，得，

即，

由此可得或，

，．

原方程可化为，

配方，得，

即，

原方程无实数根．

原方程可化为，

配方，得，

即，

由此可得或，

，．

【解析】【试题解析】

本题考查了用配方法--解一元二次方程，掌握好一元二次方程的解法是解题的关键．

用配方法得出，然后即可得出结果；

用配方法得出，然后即可得出结果；

用配方法得出，即可得出结果．

四、解答题

17．；，；，；

、8；；

见解析；

【解析】解：，解得，即方程的解为，；

，解得，，所以方程的解为，，；

，解得，，方程的解为，；

根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：

方程的解为，；

关于x的方程的解为，．

，

，

，

所以，；

所以猜想正确．

故答案为；，；，；、8；

利用因式分解法解各方程即可；

根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程的解为1和8；关于x的方程的解为，，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积．

利用配方法解方程可判断猜想结论的正确．

本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了因式分解法解一元二次方程．

18．小静的解题步骤是从第步开始出现错误的正确的解题步骤如下：

，，

，即，

则，

，

，．

，

，

，

，，

，．

【解析】见答案

19．解：

；

证明：

，

故x，y取任何实数时，多项式的值总为正数．

【解析】根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；

根据配方法把变形成，再根据平方的非负性，可得答案．

本题考查了配方法的应用、因式分解以及平方差公式，利用完全平方公式：配方是解题关键．